Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1713
2019-01-20 
Три окружности $\omega_1, \omega_2, \omega_3$ радиуса $r$ проходят через точку $S$ и касаются внутренним образом окружности $\omega$ радиуса $R (R > r)$ в точках $T_1, T_2, T_3$ соответственно. Докажите, что прямая $T_1T_2$ проходит через вторую (отличную от $S$) точку пересечения окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$.
Решение:
Обозначим через $O_1, O_2, O_3, O$ центры окружностей $\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega$ соответственно. Из касания $\omega_1$ и $\omega$ следует, что точки $O, O_1, T_1$ лежат на одной прямой, причем $OO_1 = OT_1 -O_1T_1 = R - r$. Аналогично, $OO_2 = OO_3 = R - r$, поэтому $O$ - центр окружности, описанной около треугольника $O_1O_2O_3$. Поскольку $SO_1 = SO_2 = SO_3 = r$, точка $S$ также является центром окружности, описанной около треугольника $O_1O_2O_3$. Отсюда следует, что точки $S$ и $O$ совпадают.
Пусть $M$ - середина отрезка $T_1T_2. OM$ - медиана и высота равнобедренного треугольника $OT_1T_2$, следовательно $M$ лежит на окружности, построенной на $OT_1$ как на диаметре, т. е. $M$ лежит на $\omega_1$. Аналогично, $M$ лежит на $\omega_2$.
Три окружности $\omega_1, \omega_2, \omega_3$ радиуса $r$ проходят через точку $S$ и касаются внутренним образом окружности $\omega$ радиуса $R (R > r)$ в точках $T_1, T_2, T_3$ соответственно. Докажите, что прямая $T_1T_2$ проходит через вторую (отличную от $S$) точку пересечения окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$.
Решение:
Обозначим через $O_1, O_2, O_3, O$ центры окружностей $\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega$ соответственно. Из касания $\omega_1$ и $\omega$ следует, что точки $O, O_1, T_1$ лежат на одной прямой, причем $OO_1 = OT_1 -O_1T_1 = R - r$. Аналогично, $OO_2 = OO_3 = R - r$, поэтому $O$ - центр окружности, описанной около треугольника $O_1O_2O_3$. Поскольку $SO_1 = SO_2 = SO_3 = r$, точка $S$ также является центром окружности, описанной около треугольника $O_1O_2O_3$. Отсюда следует, что точки $S$ и $O$ совпадают.
Пусть $M$ - середина отрезка $T_1T_2. OM$ - медиана и высота равнобедренного треугольника $OT_1T_2$, следовательно $M$ лежит на окружности, построенной на $OT_1$ как на диаметре, т. е. $M$ лежит на $\omega_1$. Аналогично, $M$ лежит на $\omega_2$.
