Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1710
2019-01-20 
Окружности $w_1$ и $w_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$. В точке $A$ к $w_1$ и $w_2$ проведены соответственно касательные $l_{1}$ и $l_{2}$. Точки $Т_1$ и $Т_2$ выбраны соответственно на окружностях $w_1$ и $w_2$ так, что угловые меры дуг $T_1A$ и $AT_2$ равны (величина дуги окружности считается по часовой стрелке). Касательная $t_1$ в точке $Т_1$ к окружности $w_1$ пересекает l2 в точке $M_1$. Аналогично, касательная $t_2$ в точке $Т_2$ к окружности $w_2$ пересекает $l_1$ в точке $M_2$. Докажите, что середины отрезков $M_1M_2$ находятся на одной прямой, не зависящей от положения точек $Т_1, Т_2$.
Решение:
Совершим гомотетию с центром в точке $A$ и положительным коэффициентом $k$, переводящую окружность $\omega$ в окружность $\omega_1^{\prime}$, равную $\omega2$. Условимся образы точек и прямых при этой гомотетии обозначать штрихами. Пусть $В_1$ - вторая (отличная от $A$) точка пересечения и $\omega 2$ . Окружности и $\omega 2$ симметричны относительно прямой $AB_1$, причем при этой симметрии $T^{\prime}$ переходит в $T_2, t_1^{\prime}$ переходит в $t_2$, и $M^{\prime}$ переходит в $M_2$. Таким образом, $AM_2 = AM^{\prime} = kAM_1$ ($к$ не зависит от положения точек $T_1$ и $T_2$). Тогда все треугольники $AM_1M_2$ гомотетичны с центром $A$ (так как точки $M_1$ и $M_2$ лежат на прямых $l_1$ и $l_2$, проходящих через $A$, по разные стороны от прямой $AB_1$, и отношение $AM_2 : AM_1$ постоянно). Отсюда следует, что середины отрезков $M_1M_2$ лежат на фиксированной прямой, проходящей через точку $A$.
Окружности $w_1$ и $w_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$. В точке $A$ к $w_1$ и $w_2$ проведены соответственно касательные $l_{1}$ и $l_{2}$. Точки $Т_1$ и $Т_2$ выбраны соответственно на окружностях $w_1$ и $w_2$ так, что угловые меры дуг $T_1A$ и $AT_2$ равны (величина дуги окружности считается по часовой стрелке). Касательная $t_1$ в точке $Т_1$ к окружности $w_1$ пересекает l2 в точке $M_1$. Аналогично, касательная $t_2$ в точке $Т_2$ к окружности $w_2$ пересекает $l_1$ в точке $M_2$. Докажите, что середины отрезков $M_1M_2$ находятся на одной прямой, не зависящей от положения точек $Т_1, Т_2$.
Решение:
Совершим гомотетию с центром в точке $A$ и положительным коэффициентом $k$, переводящую окружность $\omega$ в окружность $\omega_1^{\prime}$, равную $\omega2$. Условимся образы точек и прямых при этой гомотетии обозначать штрихами. Пусть $В_1$ - вторая (отличная от $A$) точка пересечения и $\omega 2$ . Окружности и $\omega 2$ симметричны относительно прямой $AB_1$, причем при этой симметрии $T^{\prime}$ переходит в $T_2, t_1^{\prime}$ переходит в $t_2$, и $M^{\prime}$ переходит в $M_2$. Таким образом, $AM_2 = AM^{\prime} = kAM_1$ ($к$ не зависит от положения точек $T_1$ и $T_2$). Тогда все треугольники $AM_1M_2$ гомотетичны с центром $A$ (так как точки $M_1$ и $M_2$ лежат на прямых $l_1$ и $l_2$, проходящих через $A$, по разные стороны от прямой $AB_1$, и отношение $AM_2 : AM_1$ постоянно). Отсюда следует, что середины отрезков $M_1M_2$ лежат на фиксированной прямой, проходящей через точку $A$.
