Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1707
2019-01-20 
На плоскости отмечено $N \geq 3$ различных точек. Известно, что среди попарных расстояний между отмеченными точками встречаются не более $n$ различных расстояний. Докажите, что $N \geq (n + 1)^2$.
Решение:
Пусть $A_1, A_2, \cdots, A_n$ - отмеченные точки, и каждое из расстояний $A_iA_j (1 \leq i < j \leq N)$ равно одному из $n$ фиксированных чисел $r_1, r_2, \cdots, r_n$. Это означает, что для каждого $i (1 \leq i \leq N)$ все отмеченные точки, кроме $A_i$, лежат на одной из $n$ окружностей $O(A_i, r_1), O(A_i, r_2),\cdots, O(A_i, r_n)$ (через $O(X, r)$ мы обозначаем окружность радиуса $r$ с центром в точке $X$).
Введем на плоскости систему координат так, что оси координат не параллельны прямым $A_iA_j (1 \leq i < j \leq N)$. Рассмотрим отмеченную точку с наименьшей абсциссой, пусть это точка $A_i$. Среди прямых $A_1 A_2, A_1A_3, \cdots, A_1A_N$ найдем прямую (или одну из прямых) с наибольшим угловым коэффициентом, пусть это прямая $A_1A_2$. Точки $A_3, A_4, \cdots,A_N$ лежат в одной полуплоскости а относительно прямой $A_1A_2$.
По условию каждая из точек $A_3, A_4,\cdots,A_N$ является точкой пересечения окружностей $O(A_1,r_k)$ и $O(A_2,r_l)$ для некоторых $k,l \in {1,2,\cdots, n}$. Каждая из $n^2$ пар таких окружностей имеет не более одной точки пересечения, принадлежащей полуплоскости $\alpha$. Следовательно, среди $N - 2$ точек $A_3, A_4,\cdots, A_N$ имеется не более $n^2$ различных. Отсюда $N - 2 \leq n^2,$ и $N \leq n^2 + 2 \leq (n + 1)^2$.
На плоскости отмечено $N \geq 3$ различных точек. Известно, что среди попарных расстояний между отмеченными точками встречаются не более $n$ различных расстояний. Докажите, что $N \geq (n + 1)^2$.
Решение:
Пусть $A_1, A_2, \cdots, A_n$ - отмеченные точки, и каждое из расстояний $A_iA_j (1 \leq i < j \leq N)$ равно одному из $n$ фиксированных чисел $r_1, r_2, \cdots, r_n$. Это означает, что для каждого $i (1 \leq i \leq N)$ все отмеченные точки, кроме $A_i$, лежат на одной из $n$ окружностей $O(A_i, r_1), O(A_i, r_2),\cdots, O(A_i, r_n)$ (через $O(X, r)$ мы обозначаем окружность радиуса $r$ с центром в точке $X$).
Введем на плоскости систему координат так, что оси координат не параллельны прямым $A_iA_j (1 \leq i < j \leq N)$. Рассмотрим отмеченную точку с наименьшей абсциссой, пусть это точка $A_i$. Среди прямых $A_1 A_2, A_1A_3, \cdots, A_1A_N$ найдем прямую (или одну из прямых) с наибольшим угловым коэффициентом, пусть это прямая $A_1A_2$. Точки $A_3, A_4, \cdots,A_N$ лежат в одной полуплоскости а относительно прямой $A_1A_2$.
По условию каждая из точек $A_3, A_4,\cdots,A_N$ является точкой пересечения окружностей $O(A_1,r_k)$ и $O(A_2,r_l)$ для некоторых $k,l \in {1,2,\cdots, n}$. Каждая из $n^2$ пар таких окружностей имеет не более одной точки пересечения, принадлежащей полуплоскости $\alpha$. Следовательно, среди $N - 2$ точек $A_3, A_4,\cdots, A_N$ имеется не более $n^2$ различных. Отсюда $N - 2 \leq n^2,$ и $N \leq n^2 + 2 \leq (n + 1)^2$.
