Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1706
2019-01-20 
Мишень «бегущий кабан» находится в одном из $n$ окошек, расположенных в ряд. Окошки закрыты занавесками так, что для стрелка мишень все время остается невидимой. Чтобы поразить мишень, достаточно выстрелить в окошко, в котором она в момент выстрела находится. Если мишень находится не в самом правом окошке, то сразу после выстрела она перемещается на одно окошко вправо; из самого правого окошка мишень никуда не перемещается. Какое наименьшее число выстрелов нужно сделать, чтобы наверняка поразить мишень?
Решение:
Занумеруем окошки слева направо числами от 1 до $n$, а через $k_i$ обозначим номер окошка, в которое делается $i$-й по счету выстрел ($i = 1, 2, 3,\cdots$).
Серия из $\left [\frac{n}{2} \right ] + 1$ выстрелов, определенная равенствами $k_{ \left [\frac{n}{2} \right ] + 1} = n$ и $k_i = 2i - 1$ для $i \leq \left [\frac{n}{2} \right ]$, гарантирует поражение мишени (легко проверить, что если вначале мишень находится в $m$-м окошке и $m \leq \left [\frac{n}{2} \right ]$, то результативным окажется $m$-й выстрел; если же $m > \left [\frac{n}{2} \right ]$, то мишень будет поражена последним выстрелом).
Покажем, что никакая серия из меньшего числа выстрелов требуемым свойством не обладает.
В самом деле, если произведено не более $\left [\frac{n}{2} \right ]$ выстрелов, то для $m = 1,2,\cdots, \left [\frac{n}{2} \right ] + 1$ условием поражения мишени, находившейся вначале в $m$-м окошке, является равенство $k_i = m + i - 1$ хотя бы для одного из значений $i$. Но каждый выстрел может обеспечить выполнение только одного из требующихся равенств. Следовательно, найдется такое число $m_0 \leq \left [\frac{n}{2} \right ] + 1,$ что $k_i \neq m_0 + i - 1$ для $i = 1,2,\cdots, \left [\frac{n}{2} \right ]$; это и означает, что для произвольной серии из $\left [\frac{n}{2} \right ]$ (и, тем более, из меньшего числа) выстрелов существует начальное положение мишени, при котором она останется непораженной.
Ответ. $\left [\frac{n}{2} \right ] + 1$.
Мишень «бегущий кабан» находится в одном из $n$ окошек, расположенных в ряд. Окошки закрыты занавесками так, что для стрелка мишень все время остается невидимой. Чтобы поразить мишень, достаточно выстрелить в окошко, в котором она в момент выстрела находится. Если мишень находится не в самом правом окошке, то сразу после выстрела она перемещается на одно окошко вправо; из самого правого окошка мишень никуда не перемещается. Какое наименьшее число выстрелов нужно сделать, чтобы наверняка поразить мишень?
Решение:
Занумеруем окошки слева направо числами от 1 до $n$, а через $k_i$ обозначим номер окошка, в которое делается $i$-й по счету выстрел ($i = 1, 2, 3,\cdots$).
Серия из $\left [\frac{n}{2} \right ] + 1$ выстрелов, определенная равенствами $k_{ \left [\frac{n}{2} \right ] + 1} = n$ и $k_i = 2i - 1$ для $i \leq \left [\frac{n}{2} \right ]$, гарантирует поражение мишени (легко проверить, что если вначале мишень находится в $m$-м окошке и $m \leq \left [\frac{n}{2} \right ]$, то результативным окажется $m$-й выстрел; если же $m > \left [\frac{n}{2} \right ]$, то мишень будет поражена последним выстрелом).
Покажем, что никакая серия из меньшего числа выстрелов требуемым свойством не обладает.
В самом деле, если произведено не более $\left [\frac{n}{2} \right ]$ выстрелов, то для $m = 1,2,\cdots, \left [\frac{n}{2} \right ] + 1$ условием поражения мишени, находившейся вначале в $m$-м окошке, является равенство $k_i = m + i - 1$ хотя бы для одного из значений $i$. Но каждый выстрел может обеспечить выполнение только одного из требующихся равенств. Следовательно, найдется такое число $m_0 \leq \left [\frac{n}{2} \right ] + 1,$ что $k_i \neq m_0 + i - 1$ для $i = 1,2,\cdots, \left [\frac{n}{2} \right ]$; это и означает, что для произвольной серии из $\left [\frac{n}{2} \right ]$ (и, тем более, из меньшего числа) выстрелов существует начальное положение мишени, при котором она останется непораженной.
Ответ. $\left [\frac{n}{2} \right ] + 1$.
