Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1705
2019-01-20 
Внутри параллелограмма $ABCD$ выбрана точка $M$, а внутри треугольника $AMD$ - точка $N$ таким образом, что $\angle MNA + \angle MCB = \angle MND + \angle MBC = 180^{\circ}$. Докажите, что прямые $MN$ и $AB$ параллельны.
Решение:
Пусть при параллельном переносе на вектор $\vec{BA}$ точка $M$ перешла в точку $M^{\prime}$ (рис.). При этом треугольник $BMC$ перешел в треугольник $AM^{\prime}D$. Четырехугольник $ANDM^{\prime}$ вписанный, поскольку $\angle AM^{\prime}D + \angle AND = \angle BMC + \angle AND = (180^{\circ} - \angle MBC - \angle MCB) + (360^{\circ} - \angle MNA - \angle MND) = 180^{\circ}$. Поэтому $\angle M^{\prime}ND = \angle M^{\prime}AD,$ и $\angle MND + \angle M^{\prime}ND = \angle MND + \angle M^{\prime}AD = \angle MND + \angle MBC = 180^{\circ}$. Значит, точки $M, N$ и $M^{\prime}$ лежат на одной прямой, следовательно, $MN \parallel \vec{MM^{\prime}} = \vec{BA}$.
Внутри параллелограмма $ABCD$ выбрана точка $M$, а внутри треугольника $AMD$ - точка $N$ таким образом, что $\angle MNA + \angle MCB = \angle MND + \angle MBC = 180^{\circ}$. Докажите, что прямые $MN$ и $AB$ параллельны.
Решение:
Пусть при параллельном переносе на вектор $\vec{BA}$ точка $M$ перешла в точку $M^{\prime}$ (рис.). При этом треугольник $BMC$ перешел в треугольник $AM^{\prime}D$. Четырехугольник $ANDM^{\prime}$ вписанный, поскольку $\angle AM^{\prime}D + \angle AND = \angle BMC + \angle AND = (180^{\circ} - \angle MBC - \angle MCB) + (360^{\circ} - \angle MNA - \angle MND) = 180^{\circ}$. Поэтому $\angle M^{\prime}ND = \angle M^{\prime}AD,$ и $\angle MND + \angle M^{\prime}ND = \angle MND + \angle M^{\prime}AD = \angle MND + \angle MBC = 180^{\circ}$. Значит, точки $M, N$ и $M^{\prime}$ лежат на одной прямой, следовательно, $MN \parallel \vec{MM^{\prime}} = \vec{BA}$.
