Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1704
2019-01-20 
Положительные числа $x, y, z$ таковы, что модуль разности любых двух из них меньше 2. Докажите, что $\sqrt{xy+1}+\sqrt{yz+1}+\sqrt{zx+1} > x+ y + z$.
Решение:
По условию $|x-y| < 2 \Rightarrow x^2 - 2xy + y^2 < 4 \Rightarrow x^2 + 2xy + y^2 < 4 (1+xy) \Rightarrow x + y < 2\sqrt {xy+1}$, так как $x$ и $y$ положительны. Аналогично, $y+z < 2 \sqrt {yz+1}, z+x < 2\sqrt {zx+1} \Rightarrow 2x+2y+2z < 2\sqrt {xy+1} + 2\sqrt {yz+1} + 2\sqrt {zx+1} \Rightarrow x+y+z < \sqrt {xy+1} + \sqrt {yz+1} + \sqrt {zx+1}$.
Положительные числа $x, y, z$ таковы, что модуль разности любых двух из них меньше 2. Докажите, что $\sqrt{xy+1}+\sqrt{yz+1}+\sqrt{zx+1} > x+ y + z$.
Решение:
По условию $|x-y| < 2 \Rightarrow x^2 - 2xy + y^2 < 4 \Rightarrow x^2 + 2xy + y^2 < 4 (1+xy) \Rightarrow x + y < 2\sqrt {xy+1}$, так как $x$ и $y$ положительны. Аналогично, $y+z < 2 \sqrt {yz+1}, z+x < 2\sqrt {zx+1} \Rightarrow 2x+2y+2z < 2\sqrt {xy+1} + 2\sqrt {yz+1} + 2\sqrt {zx+1} \Rightarrow x+y+z < \sqrt {xy+1} + \sqrt {yz+1} + \sqrt {zx+1}$.
