ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-06-07   
Какие натуральные числа нельзя представить в виде $[n + \sqrt{n} + 1/2]$, где $n \in \mathbf{N}$?


Решение:


Обозначим
$f(n) = [n + \sqrt{n} + 1/2], n \in \mathbf{N}$,
тогда разность
$f(n+1) – f(n) = [n + 1 + \sqrt{n+1} + 1/2] – [n + \sqrt{n} + 1/2] =$
$= 1 + [\sqrt{n+1} + 1/2] – [\sqrt{n} + 1/2]$
больше единицы в том и только в том случае, если
$[\sqrt{n+1} + 1/2] > [\sqrt{n} + 1/2]$,
т.e. если $\sqrt{n} + 1/2 < m \leq \sqrt{n+1} + 1/2$ для некоторого $m \in \mathbf{N}$.
Последнее неравенство равносильно неравенству
$n < m^{2} – m + 1/4 \leq n+1$,
т. е. условию $n = m^{2} – m$. С другой стороны, для любого $n \in \mathbf{N}$ имеем оценку
$f(n+1) = n + 2 + [\sqrt{n+1} - 1/2] \leq n + [\sqrt{n} + 1/2] + 2=f(n) + 2$.
так как $\sqrt{n+1} – 1/2 < \sqrt{n} + 1/2$. Таким образом, получаем
$f(n+1) – f(n) =\begin{cases}
2&\text{при n=m^{2} – m, m = 2,3, \cdots,}\\
1&\text{при остальных n \in \mathbf{N}.}
\end{cases}
$
Следовательно, величина $f(n)$ принимает все натуральные значения, кроме чисел вида
$f(m^{2}-m) + 1 = m^{2} + [\sqrt{m^{2}-m} + 1/2] – m + 1 = m^{2}$.
(последнее равенство вытекает из оценок $m - 1 < \sqrt{m^{2}-m} + 1/2 < m$, справедливых при $m \geq 2$) и чисел, меньших числа $f(1) = 2$. Итак, доказано, что натуральное число не представимо в виде $[n + \sqrt{n} + 1/2], n \in \mathbf{N}$, в том и только том случае, если оно является квадратом какого-либо натурального числа.