Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1698
2019-01-20 
Пусть $ABCD$ - четырехугольник с параллельными сторонами $AD$ и $BC; M$ и $N$ - середины его сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Прямая $MN$ делит пополам отрезок, соединяющий центры окружностей, описанных около треугольников $ABC$ и $ADC$. Докажите, что $ABCD$ - параллелограмм.
Решение:
Средняя линия трапеции (параллелограмма) делит его диагональ пополам. Значит, $MN$ проходит через середину $O$ диагонали $AC$ (см. рис.). Но центр описанной около треугольника окружности лежит на серединном перпендикуляре к его стороне, т. е. $O_1O + AC$ и $O_2O + AC$, где $O_1$ и $O_2$ - центры описанных окружностей $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. Тогда отрезок $O_1O_2$ проходит через точку $O$, лежащую на $MN$, поэтому именно она делит отрезок $O_1O_2$ пополам (по условию точки $O_1$ и $O_2$ не лежат на прямой $MN$). Значит, диагонали четырехугольника $AO_1CO_2$ делятся точкой $O$ пополам и перпендикулярны, следовательно, он - ромб. Отсюда $O_1C \parallel O_2A$ и, значит, $\angle O_1CB = \angle O_2AD$. Тогда $\triangle BO_1C = \triangle DO_2A$ (равнобедренные с равными боковыми сторонами и углами при основании). Значит, $AD = BC$ и, следовательно, $ABCD$ - параллелограмм. Отметим, что решение не зависит от расположения точек $O_1$ и $O_2$ на рисунке.
Пусть $ABCD$ - четырехугольник с параллельными сторонами $AD$ и $BC; M$ и $N$ - середины его сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Прямая $MN$ делит пополам отрезок, соединяющий центры окружностей, описанных около треугольников $ABC$ и $ADC$. Докажите, что $ABCD$ - параллелограмм.
Решение:
Средняя линия трапеции (параллелограмма) делит его диагональ пополам. Значит, $MN$ проходит через середину $O$ диагонали $AC$ (см. рис.). Но центр описанной около треугольника окружности лежит на серединном перпендикуляре к его стороне, т. е. $O_1O + AC$ и $O_2O + AC$, где $O_1$ и $O_2$ - центры описанных окружностей $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. Тогда отрезок $O_1O_2$ проходит через точку $O$, лежащую на $MN$, поэтому именно она делит отрезок $O_1O_2$ пополам (по условию точки $O_1$ и $O_2$ не лежат на прямой $MN$). Значит, диагонали четырехугольника $AO_1CO_2$ делятся точкой $O$ пополам и перпендикулярны, следовательно, он - ромб. Отсюда $O_1C \parallel O_2A$ и, значит, $\angle O_1CB = \angle O_2AD$. Тогда $\triangle BO_1C = \triangle DO_2A$ (равнобедренные с равными боковыми сторонами и углами при основании). Значит, $AD = BC$ и, следовательно, $ABCD$ - параллелограмм. Отметим, что решение не зависит от расположения точек $O_1$ и $O_2$ на рисунке.
