ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-01-20   
В остроугольном треугольнике расстояние от середины любой стороны до противоположной вершины равно сумме расстояний от нее до сторон треугольника. Докажите, что этот треугольник - равносторонний.


Решение:



Пусть $A_1, B_1, C_1$ - середины сторон в $BC, CA, AB$ треугольника $ABC, B_2$ и $B_3$ - проекции точки B_1$ на стороны $BA$ и $BC$ (см. ), $AA^{\prime}, BB^{\prime}$ и $CC^{\prime}$ - высоты $\triangle ABC$. Тогда $B_1B_2$ - средняя линия треугольника $АСС^{\prime}$, т. е. $B_1B_2 = \frac{1}{2} CC^{\prime}$. Аналогично, $B_1B_3 = \frac{1}{2} AA^{\prime}$ и, значит, $BB_1 = \frac{1}{2} (AA^{\prime} + CC^{\prime})$. Аналогично, $CC_1 = \frac{1}{2} (AA^{\prime} + BB^{\prime}), AA_1 = \frac{1}{2} (BB^{\prime} + CC^{\prime})$, откуда $AA_1 + BB_1 + CC_1 = AA^{\prime} + BB^{\prime} + CC^{\prime}$. Но $AA_1$ - наклонная, $AA^{\prime}$ - перпендикуляр, т. е. $AA_1 \geq AA^{\prime}$, причем равенство выполняется только если $A_1$ совпадает с $A^{\prime}$. Если хотя бы одно из трех подобных неравенств строгое, то $AA_1+BB_1+ CC_1 > AA^{ \prime } + BB^{ \prime} + CC^{ \prime }$, что неверно. Тогда $A_1$ совпадает с $A^{\prime}$, т. е. медиана является высотой, поэтому $BA = CA$. Аналогично, $AB = BC$. Утверждение доказано.