Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1694
2019-01-20 
Имеется набор гирь со следующими свойствами: 1) В нем есть 5 гирь, попарно различных по весу. 2) Для любых двух гирь найдутся две другие гири того же суммарного веса. Какое наименьшее число гирь может быть в этом наборе?
Решение:
Пусть $A$ - одна из самых легких гирь, а $B$ - одна из гирь, следующих по весу за $A$. Очевидно, пару гирь ${A, B}$ можно уравновесить только такой же парой. Поэтому есть хотя бы по две гири $A$ и $B$. Пару ${A, A}$ также можно уравновесить только такой же парой. Поэтому гирь $A$ - по крайней мере 4. По аналогичным причинам есть хотя бы 4 самых тяжелых гири $E$ и хотя бы две гири предыдущего веса $D$. Кроме того, по условию есть хотя бы одна гиря $C$, которая тяжелее $A$ и $B$ и легче $D$ и $E$. Таким образом, всего гирь в нашем наборе не меньше, чем $4 + 4 + 2 + 2 + 1 = 13$. C другой стороны, легко проверить, что набор из 13 гирь: $\{1,1,1,1,2,2,3,4,4,5,5,5,5 \}$ удовлетворяет условию задачи.
Ответ. 13.
Имеется набор гирь со следующими свойствами: 1) В нем есть 5 гирь, попарно различных по весу. 2) Для любых двух гирь найдутся две другие гири того же суммарного веса. Какое наименьшее число гирь может быть в этом наборе?
Решение:
Пусть $A$ - одна из самых легких гирь, а $B$ - одна из гирь, следующих по весу за $A$. Очевидно, пару гирь ${A, B}$ можно уравновесить только такой же парой. Поэтому есть хотя бы по две гири $A$ и $B$. Пару ${A, A}$ также можно уравновесить только такой же парой. Поэтому гирь $A$ - по крайней мере 4. По аналогичным причинам есть хотя бы 4 самых тяжелых гири $E$ и хотя бы две гири предыдущего веса $D$. Кроме того, по условию есть хотя бы одна гиря $C$, которая тяжелее $A$ и $B$ и легче $D$ и $E$. Таким образом, всего гирь в нашем наборе не меньше, чем $4 + 4 + 2 + 2 + 1 = 13$. C другой стороны, легко проверить, что набор из 13 гирь: $\{1,1,1,1,2,2,3,4,4,5,5,5,5 \}$ удовлетворяет условию задачи.
Ответ. 13.
