Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1692
2019-01-20 
Дан тетраэдр $ABCD$. Вписанная в него сфера $w$ касается грани $ABC$ в точке $T$. Сфера $w^{\prime}$ касается грани $ABC$ в точке $T^{\prime}$ и продолжений граней $ABD, BCD, CAD$. Докажите, что прямые $AT и AT^{\prime}$ симметричны относительно биссектрисы $ \angle BAC$.
Решение:
Обозначим через $M, M^{\prime}$ точки касания сфер $w, w^{\prime}$ с плоскостью $ABD$, а через $N, N^{\prime}$ - точки касания сфер $w, w^{\prime}$ с плоскостью $ACD$ соответственно (см.![]()
). Пусть $D^{\prime}$ - некоторая точка на продолжении отрезка $AD$ за точку $A$.
Из равенства отрезков касательных, проведенных из одной точки к сфере, получаем: $DM = DN, D^{\prime}M^{\prime} - D^{\prime}N^{\prime}, BM = BT, CN = CT, BM^{\prime} = BT^{\prime}, CN^{\prime} = CT^{\prime}, AM = AN = AT, AM^{\prime} = AN^{\prime} = AT^{\prime}$. Отсюда следуют равенства треугольников (по трем сторонам): $\triangle DMA = \triangle DNA, AD^{\prime}M^{\prime}A = AD^{\prime}N^{\prime}A, AABM = AABT, AABM^{\prime} = AABT^{\prime}, AACN = AACT, AACN^{\prime} = AACT^{\prime}$.
Из выписанных равенств: $\angle BAT + \angle BAT^{\prime} = \angle BAM + ZBAM^{\prime} - \angle MAM^{\prime} = 180^{\circ} - \angle DAM - ZD^{\prime} AM^{\prime} = 180^{\circ} - \angle DAN - ZD^{\prime}AN^{\prime} = \angle NAN^{\prime} = \angle CAN + \angle CAN^{\prime} = \angle CAT + \angle CAT^{\prime}$.
Итак, $\angle BAT - \angle CAT = \angle CAT^{\prime} - \angle BAT^{\prime}$, откуда $\angle BAT - \angle CAT^{\prime}$, что и требовалось.
Дан тетраэдр $ABCD$. Вписанная в него сфера $w$ касается грани $ABC$ в точке $T$. Сфера $w^{\prime}$ касается грани $ABC$ в точке $T^{\prime}$ и продолжений граней $ABD, BCD, CAD$. Докажите, что прямые $AT и AT^{\prime}$ симметричны относительно биссектрисы $ \angle BAC$.
Решение:
Обозначим через $M, M^{\prime}$ точки касания сфер $w, w^{\prime}$ с плоскостью $ABD$, а через $N, N^{\prime}$ - точки касания сфер $w, w^{\prime}$ с плоскостью $ACD$ соответственно (см.
Из равенства отрезков касательных, проведенных из одной точки к сфере, получаем: $DM = DN, D^{\prime}M^{\prime} - D^{\prime}N^{\prime}, BM = BT, CN = CT, BM^{\prime} = BT^{\prime}, CN^{\prime} = CT^{\prime}, AM = AN = AT, AM^{\prime} = AN^{\prime} = AT^{\prime}$. Отсюда следуют равенства треугольников (по трем сторонам): $\triangle DMA = \triangle DNA, AD^{\prime}M^{\prime}A = AD^{\prime}N^{\prime}A, AABM = AABT, AABM^{\prime} = AABT^{\prime}, AACN = AACT, AACN^{\prime} = AACT^{\prime}$.
Из выписанных равенств: $\angle BAT + \angle BAT^{\prime} = \angle BAM + ZBAM^{\prime} - \angle MAM^{\prime} = 180^{\circ} - \angle DAM - ZD^{\prime} AM^{\prime} = 180^{\circ} - \angle DAN - ZD^{\prime}AN^{\prime} = \angle NAN^{\prime} = \angle CAN + \angle CAN^{\prime} = \angle CAT + \angle CAT^{\prime}$.
Итак, $\angle BAT - \angle CAT = \angle CAT^{\prime} - \angle BAT^{\prime}$, откуда $\angle BAT - \angle CAT^{\prime}$, что и требовалось.
