Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1691
2019-01-20 
Квадратные трехчлены $P(x) = x^2 + ax + b$ и $Q(x) = x^2 + cx + d$ таковы, что уравнение $P(Q(x)) = Q(P(x))$ не имеет действительных корней. Докажите, что $b = d$.
Решение:
Уравнение $P(Q(x)) = Q(P(x))$ имеет вид
$(x^2 + cx + d)^2 + a(x^2 + cx + d)+ b - (x^2 + ax + b)^2 + c(x^2 + ax + b) + d \Leftrightarrow 2(c - a)x^3 + lx^2 + mx + n = 0,$
где $l, m$ и $n$ - коэффициенты, получающиеся после раскрытия скобок и приведения подобных членов. Допустим, что $c - a \neq 0$. Тогда в левой части последнего уравнения - многочлен третьей степени, имеющий хотя бы один корень, что противоречит условию задачи. Поэтому $c = a$. Если при этом еще и $b = d$, то $P(x) = Q(x)$, и равенство $P(Q(x)) = Q(P(x))$ выполняется при всех $x$. Значит, $b \neq d$.
Квадратные трехчлены $P(x) = x^2 + ax + b$ и $Q(x) = x^2 + cx + d$ таковы, что уравнение $P(Q(x)) = Q(P(x))$ не имеет действительных корней. Докажите, что $b = d$.
Решение:
Уравнение $P(Q(x)) = Q(P(x))$ имеет вид
$(x^2 + cx + d)^2 + a(x^2 + cx + d)+ b - (x^2 + ax + b)^2 + c(x^2 + ax + b) + d \Leftrightarrow 2(c - a)x^3 + lx^2 + mx + n = 0,$
где $l, m$ и $n$ - коэффициенты, получающиеся после раскрытия скобок и приведения подобных членов. Допустим, что $c - a \neq 0$. Тогда в левой части последнего уравнения - многочлен третьей степени, имеющий хотя бы один корень, что противоречит условию задачи. Поэтому $c = a$. Если при этом еще и $b = d$, то $P(x) = Q(x)$, и равенство $P(Q(x)) = Q(P(x))$ выполняется при всех $x$. Значит, $b \neq d$.
