ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-01-20   
На плоскости даны точки $A_1, A_2, \cdots, A_n$ и точки $B_1, B_2, \cdots, B_n$. Докажите, что точки $B_i$ можно перенумеровать так, что для всех $i \neq j$ угол между векторами $A_iA_j$ и $B_iB_j$ - острый или прямой.


Решение:


Выберем на плоскости начало координат $O$ и рассмотрим сумму $S = \sum_{k=1}^{n} \overline {OA_k} \cdot \overline {OB_k}$. Выберем такую нумерацию точек $B_i$, что соответствующая сумма $S$ максимальна. Рассмотрим теперь нумерацию точек $B$, в которой $B_i$ и $B_j$ обозначены $B_j$ и $B_i$ и ее сумму $S^{ \prime }$. По предположению максимальности $S \geq S^{ \prime }$, но

$S - S^{ \prime } = \overline {OA_i} \cdot \overline {OB_i} + \overline {OA_j} \cdot \overline {OB_j} - \overline {OA_i} \cdot \overline {OB_j} - \overline {OA_j} \cdot \overline {OB_i} \geq 0$.

Преобразуя, получим

$(\overline {OA_i} - \overline {OA_j}) \cdot (\overline {OB_i} - \overline {OB_j}) = \overline {A_jA_i} \cdot \overline {B_jB_i} \geq 0$ (*).

Итак, в нумерации с максимальным $S$ неравенство (*) выполняется для любых $i$ и $j$. А это равносильно условию задачи.