Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 169
2014-06-07 
Доказать, что для любого значения $n \in \mathbf{N}$ справедливо равенство
$[\sqrt{n} + \sqrt{n+1}] = [\sqrt{4n+2}]$.
Решение:
Докажем, что для любого $n \in \mathbf{N}$ выполнено неравенство $\sqrt{n} + \sqrt{n+1} < \sqrt{4n+2}$. Действительно, поскольку $4n(n+1) < (2n + 1)^{2}$, то $2 \sqrt{n(n+1)} < 2n + 1$. Поэтому
$(\sqrt{n} + \sqrt{n+1})^{2} = 2n+1+2 \sqrt{n(n+1)} < 4n + 2$,
откуда вытекает требуемое неравенство, а значит, и неравенство
$[\sqrt{n} + \sqrt{n+1}] \leq [\sqrt{4n + 2}]$.
Предположим, что для некоторого $n \in \mathbf{N}$ имеет место строгое неравенство $[\sqrt{n} + \sqrt{n+1}] < [\sqrt{4n + 2}]$.
Тогда существует такое $m \in \mathbf{N}$, что
$\sqrt{n} + \sqrt{n+1} < m \leq \sqrt{4n + 2}$.
Отсюда имеем
$2 \sqrt{n(n+1)} < (m^{2} – (2n+1))^{2} \leq 4n(n+1) + 1$.
а значит,
$4n(n+1) < (m^{2} – (2n+1))^{2} \leq 4n(n+1) + 1$.
Поскольку число $(m^{2} – (2n+1))^{2}$ является натуральным, то $m^{2} – (2n+1) = 2n+ 1$. Следовательно, число $m^{2} = 2(2n + 1)$ делится на 2, но не делится на 4, что невозможно. Таким образом, требуемое равенство справедливо при любом $n \in \mathbf{N}$.
Доказать, что для любого значения $n \in \mathbf{N}$ справедливо равенство
$[\sqrt{n} + \sqrt{n+1}] = [\sqrt{4n+2}]$.
Решение:
Докажем, что для любого $n \in \mathbf{N}$ выполнено неравенство $\sqrt{n} + \sqrt{n+1} < \sqrt{4n+2}$. Действительно, поскольку $4n(n+1) < (2n + 1)^{2}$, то $2 \sqrt{n(n+1)} < 2n + 1$. Поэтому
$(\sqrt{n} + \sqrt{n+1})^{2} = 2n+1+2 \sqrt{n(n+1)} < 4n + 2$,
откуда вытекает требуемое неравенство, а значит, и неравенство
$[\sqrt{n} + \sqrt{n+1}] \leq [\sqrt{4n + 2}]$.
Предположим, что для некоторого $n \in \mathbf{N}$ имеет место строгое неравенство $[\sqrt{n} + \sqrt{n+1}] < [\sqrt{4n + 2}]$.
Тогда существует такое $m \in \mathbf{N}$, что
$\sqrt{n} + \sqrt{n+1} < m \leq \sqrt{4n + 2}$.
Отсюда имеем
$2 \sqrt{n(n+1)} < (m^{2} – (2n+1))^{2} \leq 4n(n+1) + 1$.
а значит,
$4n(n+1) < (m^{2} – (2n+1))^{2} \leq 4n(n+1) + 1$.
Поскольку число $(m^{2} – (2n+1))^{2}$ является натуральным, то $m^{2} – (2n+1) = 2n+ 1$. Следовательно, число $m^{2} = 2(2n + 1)$ делится на 2, но не делится на 4, что невозможно. Таким образом, требуемое равенство справедливо при любом $n \in \mathbf{N}$.
