ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-01-20   
На диагонали $AC$ выпуклого четырехугольника $ABCD$ выбрана такая точка $К$, что $КD = DC, \angle BAC = \frac{1}{2} \angle KDC, \angle DAC = \frac{1}{2} \angle KBC$. Докажите, что $ \angle KDA = \angle BCA$ или $\angle KDA = \angle KBA$.


Решение:


Проведем биссектрису $\angle KDC$ до пересечения с $AB$ в точке $O$. Возможны 3 случая: 1) точка $O$ лежит на луче $AB$ за точкой $B$; 2) $O = B$; 3) $O \in |AB|$.


1) Положим $ \varphi - \angle ADK$. Четырехугольник $AOCD$ - вписанный, так как $\angle OAC = \angle ODC = \alpha$. Значит, $ \angle DOC = \angle DAC = \beta, \angle ADO = \angle ACO = \angle OCK = \alpha + \varphi$. Так как $DO$ - биссектриса $ \angle KDC$ и $KD$ то $DO$ - серединный перпендикуляр к $KC$. Отсюда $ \angle KOD = \angle COD = \beta, \angle OKC = \alpha + \varphi$. Четырехугольник $KBOC$ - вписанный, так как $\angle KBC = \angle KOC = 2 \beta$. Отсюда $ \angle BCA = \angle KOA = \angle OKC - \angle OAC = - (\alpha + \varphi) - \alpha = \varphi$, т. е. $\angle BCA - \angle KDA$.


2) Видим, что $КВ = ВС$ (см.рис.). $ \angle CKD = \frac{\pi}{2} - \alpha - \beta$, т.е. $\angle KDA = \angle KBA$.


3) Покажем, что этот случай невозможен. Предположим противное. Как и раньше, $\angle OAC = \angle ODC = \alpha$. Тогда четырехугольник $AOCD$ - вписанный, значит, $ \angle COD = \angle CAD = \beta, \angle KOC = 2 \angle COD = 2 \beta = \angle KBC$. Следовательно, четырехугольник $KOBC$ - вписанный, но касательная к описанной окружности $AKOC$ в точке $O$ горизонтальна, а точка $B$ лежит выше нее. Поэтому $B$ не может лежать на той же окружности. Противоречие.

Итак, $\angle KDA = \angle BCA,$ или $\angle KDA = \angle KBA$.