Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1682
2019-01-20 
На плоскости отметили $n (n > 2)$ прямых, проходящих через одну точку $O$ таким образом, что для любых двух из них найдется такая отмеченная прямая, которая делит пополам одну из пар вертикальных углов, образованных этими прямыми. Докажите, что проведенные прямые делят полный угол на равные части.
Решение:
Назовем $2n$ углов, на которые отмеченные прямые делят полный угол, элементарными, а две отмеченные прямые, образующие элементарный угол, - соседними. Поскольку внутри элементарных углов отмеченные прямые не проходят, для любых двух соседних прямых отмеченной будет прямая, делящая пополам вторую пару образованных ими углов (смежных с элементарными). Если эту прямую повернуть на $90^{\circ}$ вокруг точки O, она будет делить пополам пару элементарных углов. Прямых, делящих пополам элементарные углы, столько же, сколько отмеченных, поэтому если совокупность всех отмеченных прямых повернуть на $90^{\circ}$ вокруг точки O, она перейдет в совокупность всех прямых, делящих пополам элементарные углы.
Пусть $\alpha$ - наибольший из элементарных углов, а $\beta$ и $\gamma$ - соседние элементарные углы, биссектрисами которых становятся после поворота на $90^{\circ}$ стороны угла $\alpha$. Очевидно, тогда угол а равен полусумме углов $\beta$ и $\gamma$, откуда, в силу максимальности $\alpha$, следует, что $\alpha = \beta = \gamma$. Поворачивая теперь на $90^{\circ}$ в обратном направлении углы $\betaи \gamma$, получим, что максимальными являются также элементарные углы, граничащие с $\alpha$. Но если элементарные углы, граничащие с максимальным, также максимальны, то все элементарные углы равны между собой, что и требовалось доказать.
На плоскости отметили $n (n > 2)$ прямых, проходящих через одну точку $O$ таким образом, что для любых двух из них найдется такая отмеченная прямая, которая делит пополам одну из пар вертикальных углов, образованных этими прямыми. Докажите, что проведенные прямые делят полный угол на равные части.
Решение:
Назовем $2n$ углов, на которые отмеченные прямые делят полный угол, элементарными, а две отмеченные прямые, образующие элементарный угол, - соседними. Поскольку внутри элементарных углов отмеченные прямые не проходят, для любых двух соседних прямых отмеченной будет прямая, делящая пополам вторую пару образованных ими углов (смежных с элементарными). Если эту прямую повернуть на $90^{\circ}$ вокруг точки O, она будет делить пополам пару элементарных углов. Прямых, делящих пополам элементарные углы, столько же, сколько отмеченных, поэтому если совокупность всех отмеченных прямых повернуть на $90^{\circ}$ вокруг точки O, она перейдет в совокупность всех прямых, делящих пополам элементарные углы.
Пусть $\alpha$ - наибольший из элементарных углов, а $\beta$ и $\gamma$ - соседние элементарные углы, биссектрисами которых становятся после поворота на $90^{\circ}$ стороны угла $\alpha$. Очевидно, тогда угол а равен полусумме углов $\beta$ и $\gamma$, откуда, в силу максимальности $\alpha$, следует, что $\alpha = \beta = \gamma$. Поворачивая теперь на $90^{\circ}$ в обратном направлении углы $\betaи \gamma$, получим, что максимальными являются также элементарные углы, граничащие с $\alpha$. Но если элементарные углы, граничащие с максимальным, также максимальны, то все элементарные углы равны между собой, что и требовалось доказать.
