Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1680
2019-01-20 
Найдите все углы $а$, для которых набор чисел $ \sin a, \sin 2a, \sin 3a$ совпадает с набором $ \cos a, \cos 2a, \cos 3a$.
Решение:
Первое решение. Из совпадения наборов следует, что
$ \sin x + \sin 2x + \sin 3x = \cos x + \cos 2x + \cos 3x$, т. е. $ \sin 2x(1 + 2 \cos x) = \cos 2x(1 + 2 \cos x)$.
а) $1 + 2 \cos x = 0 \Rightarrow \cos x = -\frac {1}{2} = \Rightarrow x = \pm \frac {2 \pi}{3} + 2 \pi \Rightarrow \sin 3x = 0$, но $0 \notin {\cos x, \cos 2x, \cos 3x}$.
б) $\sin 2x = \cos 2x \Rightarrow tg 2x = 1, x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$. Наборы совпадают, так как $Зx + x = \frac{\pi}{2} + 2 \pi n \Rightarrow \cos 3x = \sin x, \sin 3x = \cos x$.
Второе решение. Сложим 3 единичных вектора, образующих с осью $O_x$ углы $\alpha, 2 \alpha, 3 \alpha$ соответственно. По условию $у$ получившегося вектора равны координаты по $x$ и по $у$, так как это суммы одних и тех же трех чисел. Значит, этот вектор, если он не равен нулю, направлен вдоль прямой, образующей угол $ \pi /4$ с осью $O_x$. Но направление суммы трех векторов совпадает с направлением вектора, образующего угол $2 \alpha$, поскольку два других симметричны относительно него. Итак, $2 \alpha = \frac{\pi}{4} + \pi k$, откуда $\alpha = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$. Непосредственной проверкой убеждаемся, что все углы указанного вида подходят.
Осталось рассмотреть случай, когда сумма трех единичных векторов равна нулю. Нетрудно видеть, что это возможно лишь если углы между ними равны $\frac{2 \pi}{3}$, откуда $\alpha = \frac{2 \pi}{3} + \pi k$ или $\alpha = \frac{4 \pi}{3} + \pi k$. Легко видеть, что тогда $ \sin 3 \alpha = 0, \cos 2\alpha \neq 0, \cos 3 \alpha \neq 0$.
Ответ. $ \alpha = \frac {\pi}{8} + \frac {\pi n}{2}$.
Найдите все углы $а$, для которых набор чисел $ \sin a, \sin 2a, \sin 3a$ совпадает с набором $ \cos a, \cos 2a, \cos 3a$.
Решение:
Первое решение. Из совпадения наборов следует, что
$ \sin x + \sin 2x + \sin 3x = \cos x + \cos 2x + \cos 3x$, т. е. $ \sin 2x(1 + 2 \cos x) = \cos 2x(1 + 2 \cos x)$.
а) $1 + 2 \cos x = 0 \Rightarrow \cos x = -\frac {1}{2} = \Rightarrow x = \pm \frac {2 \pi}{3} + 2 \pi \Rightarrow \sin 3x = 0$, но $0 \notin {\cos x, \cos 2x, \cos 3x}$.
б) $\sin 2x = \cos 2x \Rightarrow tg 2x = 1, x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$. Наборы совпадают, так как $Зx + x = \frac{\pi}{2} + 2 \pi n \Rightarrow \cos 3x = \sin x, \sin 3x = \cos x$.
Второе решение. Сложим 3 единичных вектора, образующих с осью $O_x$ углы $\alpha, 2 \alpha, 3 \alpha$ соответственно. По условию $у$ получившегося вектора равны координаты по $x$ и по $у$, так как это суммы одних и тех же трех чисел. Значит, этот вектор, если он не равен нулю, направлен вдоль прямой, образующей угол $ \pi /4$ с осью $O_x$. Но направление суммы трех векторов совпадает с направлением вектора, образующего угол $2 \alpha$, поскольку два других симметричны относительно него. Итак, $2 \alpha = \frac{\pi}{4} + \pi k$, откуда $\alpha = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$. Непосредственной проверкой убеждаемся, что все углы указанного вида подходят.
Осталось рассмотреть случай, когда сумма трех единичных векторов равна нулю. Нетрудно видеть, что это возможно лишь если углы между ними равны $\frac{2 \pi}{3}$, откуда $\alpha = \frac{2 \pi}{3} + \pi k$ или $\alpha = \frac{4 \pi}{3} + \pi k$. Легко видеть, что тогда $ \sin 3 \alpha = 0, \cos 2\alpha \neq 0, \cos 3 \alpha \neq 0$.
Ответ. $ \alpha = \frac {\pi}{8} + \frac {\pi n}{2}$.
