Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 168
2014-06-07 
Для каждого значения $n \in \mathbf{N}$ определить, сколько решений имеет уравнение $x^{2} - [x^{2}] = {x}^{2}$ на отрезке $[1; n]$.
Решение:
Положим $m = [x], \alpha = \{ x \}$. Тогда $x = m + \alpha$ и исходное уравнение будет иметь вид
$(m + \alpha)^{2} – [m^{2}+2m \alpha + \alpha^{2}] = \alpha^{2}$,
откуда
$m^{2} + 2 m \alpha = [m^{2} + 2m \alpha + \alpha^{2}]$.
Но $m^{2} \in \mathbf{Z}$, поэтому
$2m \alpha = [2m \alpha+ \alpha^{2}]$.
Последнее равенство при $0 \leq \alpha < 1$ равносильно условию $2m \alpha \in \mathbf{Z}$ следовательно $\alpha = k/(2m)$, где $k \in {0; 1; 2m -1}$. Таким образом, при каждом из значений $m = 1, n – 1$ (при $n = 1$ таких значений нет) величина $\alpha$ может принимать ровно $2m$ значений, а при $m = n$ имеем $\alpha = 0$ (так как $x \leq n$), а значит, количество решений равно
$2 + 4 + \cdots +2(n-1) + 1 = n(n - 1) + 1 = n^{2} – n + 1$.
Для каждого значения $n \in \mathbf{N}$ определить, сколько решений имеет уравнение $x^{2} - [x^{2}] = {x}^{2}$ на отрезке $[1; n]$.
Решение:
Положим $m = [x], \alpha = \{ x \}$. Тогда $x = m + \alpha$ и исходное уравнение будет иметь вид
$(m + \alpha)^{2} – [m^{2}+2m \alpha + \alpha^{2}] = \alpha^{2}$,
откуда
$m^{2} + 2 m \alpha = [m^{2} + 2m \alpha + \alpha^{2}]$.
Но $m^{2} \in \mathbf{Z}$, поэтому
$2m \alpha = [2m \alpha+ \alpha^{2}]$.
Последнее равенство при $0 \leq \alpha < 1$ равносильно условию $2m \alpha \in \mathbf{Z}$ следовательно $\alpha = k/(2m)$, где $k \in {0; 1; 2m -1}$. Таким образом, при каждом из значений $m = 1, n – 1$ (при $n = 1$ таких значений нет) величина $\alpha$ может принимать ровно $2m$ значений, а при $m = n$ имеем $\alpha = 0$ (так как $x \leq n$), а значит, количество решений равно
$2 + 4 + \cdots +2(n-1) + 1 = n(n - 1) + 1 = n^{2} – n + 1$.
