Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1679
2019-01-20 
Докажите, что выпуклый многоугольник может быть разрезан непересекающимися диагоналями на остроугольные треугольники не более, чем одним способом.
Решение:
Пусть дан выпуклый $n$-угольник. Утверждение верно при $n - 3$. Пусть $n \geq 4$.
Будем называть триангуляцией разбиение $n$-угольника непересекающимися диагоналями на треугольники; остроугольной триангуляцией назовем разбиение $n$-угольника непересекающимися диагоналями на остроугольные треугольники. Треугольник из триангуляции назовем крайним, если две из его сторон являются сторонами $n$-угольника.
Нам понадобятся следующие утверждения:
(i) В любой триангуляции найдутся по меньшей мере два крайних треугольника.
Действительно, сумма углов всех треугольников из триангуляции равна сумме углов $n$-угольника, т. е. равна $(n - 2)n$. Поскольку сумма углов треугольника равна $n$, количество треугольников в триангуляции равно $n - 2$. Каждая из $n$ сторон многоугольника является стороной одного из $n - 2$ треугольников, причем у одного треугольника не более двух сторон являются сторонами $n$-угольника. Отсюда легко следует (i).
(ii) У выпуклого $n$-угольника не более трех острых углов.
Действительно, предположив противное, получаем, что у $n$-угольника найдутся хотя бы 4 тупых внешних угла, сумма которых больше, чем $4 \cdot \frac{\pi}{2} = 2\pi$. Но как известно, сумма внешних углов выпуклого $n$-угольника равна $2 \pi$. Противоречие.
Перейдем к решению задачи.
Предположим, что нашлись две различные остроугольные триангуляции $\triangle_1, \triangle_2$ выпуклого $n$-угольника. Обозначим через $A$ множество всех острых углов $n$-угольника.
Рассмотрим крайний треугольник $Т$ триангуляции $\triangle_1$. Один из его углов является углом $n$-угольника. А поскольку $T$ остроугольный, этот угол является углом из множества $A$. Так как найдутся два крайних треугольника в триангуляции $\triangle_1$ (согласно (i)), то два угла из множества $A$ являются углами крайних треугольников триангуляции $\triangle_1$. То же справедливо и для триангуляции $\triangle_2$.
Согласно (ii), в множестве $A$ содержится не более трех углов. Следовательно, хотя бы один угол из множества $A$ одновременно является углом крайнего треугольника $Т_1$ триангуляции $\triangle_1$ и крайнего треугольника $Т_2$ триангуляции $\triangle_2$. Это означает, что треугольники $Т_1$ и $Т_2$ совпадают, т. е. что в $\triangle_1$ и $\triangle_2$ имеется общий крайний треугольник. Отрезав его, перейдем к исходной задаче для выпуклого $(n - 1)$-угольника. Продолжая процесс отрезания крайних треугольников, получаем, что $\triangle_1$ и $\triangle_2$ состоят из одинаковых наборов треугольников.
Докажите, что выпуклый многоугольник может быть разрезан непересекающимися диагоналями на остроугольные треугольники не более, чем одним способом.
Решение:
Пусть дан выпуклый $n$-угольник. Утверждение верно при $n - 3$. Пусть $n \geq 4$.
Будем называть триангуляцией разбиение $n$-угольника непересекающимися диагоналями на треугольники; остроугольной триангуляцией назовем разбиение $n$-угольника непересекающимися диагоналями на остроугольные треугольники. Треугольник из триангуляции назовем крайним, если две из его сторон являются сторонами $n$-угольника.
Нам понадобятся следующие утверждения:
(i) В любой триангуляции найдутся по меньшей мере два крайних треугольника.
Действительно, сумма углов всех треугольников из триангуляции равна сумме углов $n$-угольника, т. е. равна $(n - 2)n$. Поскольку сумма углов треугольника равна $n$, количество треугольников в триангуляции равно $n - 2$. Каждая из $n$ сторон многоугольника является стороной одного из $n - 2$ треугольников, причем у одного треугольника не более двух сторон являются сторонами $n$-угольника. Отсюда легко следует (i).
(ii) У выпуклого $n$-угольника не более трех острых углов.
Действительно, предположив противное, получаем, что у $n$-угольника найдутся хотя бы 4 тупых внешних угла, сумма которых больше, чем $4 \cdot \frac{\pi}{2} = 2\pi$. Но как известно, сумма внешних углов выпуклого $n$-угольника равна $2 \pi$. Противоречие.
Перейдем к решению задачи.
Предположим, что нашлись две различные остроугольные триангуляции $\triangle_1, \triangle_2$ выпуклого $n$-угольника. Обозначим через $A$ множество всех острых углов $n$-угольника.
Рассмотрим крайний треугольник $Т$ триангуляции $\triangle_1$. Один из его углов является углом $n$-угольника. А поскольку $T$ остроугольный, этот угол является углом из множества $A$. Так как найдутся два крайних треугольника в триангуляции $\triangle_1$ (согласно (i)), то два угла из множества $A$ являются углами крайних треугольников триангуляции $\triangle_1$. То же справедливо и для триангуляции $\triangle_2$.
Согласно (ii), в множестве $A$ содержится не более трех углов. Следовательно, хотя бы один угол из множества $A$ одновременно является углом крайнего треугольника $Т_1$ триангуляции $\triangle_1$ и крайнего треугольника $Т_2$ триангуляции $\triangle_2$. Это означает, что треугольники $Т_1$ и $Т_2$ совпадают, т. е. что в $\triangle_1$ и $\triangle_2$ имеется общий крайний треугольник. Отрезав его, перейдем к исходной задаче для выпуклого $(n - 1)$-угольника. Продолжая процесс отрезания крайних треугольников, получаем, что $\triangle_1$ и $\triangle_2$ состоят из одинаковых наборов треугольников.
