Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1676
2019-01-20 
Пусть $I$ - точка пересечения биссектрис треугольника $ABC$. Обозначим через ${A}^{ \prime} , {B}^{ \prime} , {C}^{ \prime} $ точки, симметричные I относительно сторон треугольника $ABC$. Докажите, что еслн окружность, описанная около треугольника ${A}^{ \prime} , {B}^{ \prime} , {C}^{ \prime} $, проходит через вершину $B$, то $\angle ABC = 60^{\circ}$.
Решение:
Обозначим через $A_1, B_1, C_1$ точки касания вписанной окружности $\triangle ABC$ с его сторонами. Поскольку $A^{ \prime}, B^{ \prime}$ и $C^{ \prime}$ симметричны $I$ относительно сторон $\triangle ABC$, то $IA^{ \prime} = IB^{ \prime} = IC^{ \prime} = 2r$, где $r$ - радиус вписанной окружности. Из этого следует, что $I$ - центр описанной окружности $AA^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}$, радиус которой $R = 2r = BI$. В прямоугольном треугольнике $BA_1I$ гипотенуза $BI$ в 2 раза больше катета $IA_1$ тогда и только тогда, когда $\angle IBA_1 = 30^{\circ}, \angle ABC = 2 \angle IBA_1 = 60^{\circ}$.
Пусть $I$ - точка пересечения биссектрис треугольника $ABC$. Обозначим через ${A}^{ \prime} , {B}^{ \prime} , {C}^{ \prime} $ точки, симметричные I относительно сторон треугольника $ABC$. Докажите, что еслн окружность, описанная около треугольника ${A}^{ \prime} , {B}^{ \prime} , {C}^{ \prime} $, проходит через вершину $B$, то $\angle ABC = 60^{\circ}$.
Решение:
Обозначим через $A_1, B_1, C_1$ точки касания вписанной окружности $\triangle ABC$ с его сторонами. Поскольку $A^{ \prime}, B^{ \prime}$ и $C^{ \prime}$ симметричны $I$ относительно сторон $\triangle ABC$, то $IA^{ \prime} = IB^{ \prime} = IC^{ \prime} = 2r$, где $r$ - радиус вписанной окружности. Из этого следует, что $I$ - центр описанной окружности $AA^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}$, радиус которой $R = 2r = BI$. В прямоугольном треугольнике $BA_1I$ гипотенуза $BI$ в 2 раза больше катета $IA_1$ тогда и только тогда, когда $\angle IBA_1 = 30^{\circ}, \angle ABC = 2 \angle IBA_1 = 60^{\circ}$.
