Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1674
2019-01-20 
В равнобедренном треугольнике $ABC (AB = BC)$ средняя линия, параллельная стороне $BC$, пересекается со вписанной окружностью в точке $F$, не лежащей на основании $AC$. Докажите, что касательная к окружности в точке $F$ пересекается с биссектрисой $\angle C$ на стороне $AB$.
Решение:
Рассмотрим симметрию относительно биссектрисы угла $C$ (прямой $CI$) (см. рис.). При этом $C \rightarrow C^{ \prime} , A \rightarrow A^{ \prime}, B \rightarrow B^{ \prime}, B_0 \rightarrow B_0^{ \prime}, F \rightarrow F^{ \prime}$, следовательно, $B_0^{ \prime}$ - середина отрезка $CA^{ \prime}$, значит, $B0F^{ \prime}$ - средняя линия $AA^{ \prime}B^{ \prime}C$, в которую перешла средняя линия $\triangle ABC$, параллельная $BC$, поэтому $F^{ \prime}$ - точка касания $AB$ с окружностью. При этой симметрии точка $M$ пересечения прямых $AB$ и $A^{ \prime}B^{ \prime}$ перейдет в себя, а значит, лежит на биссектрисе угла $C$, но эта точка и есть точка пересечения стороны $AB$ с касательной ко вписанной окружности, проведенной в $F$ (прямая $A^{ \prime}B^{ \prime})$.
В равнобедренном треугольнике $ABC (AB = BC)$ средняя линия, параллельная стороне $BC$, пересекается со вписанной окружностью в точке $F$, не лежащей на основании $AC$. Докажите, что касательная к окружности в точке $F$ пересекается с биссектрисой $\angle C$ на стороне $AB$.
Решение:
Рассмотрим симметрию относительно биссектрисы угла $C$ (прямой $CI$) (см. рис.). При этом $C \rightarrow C^{ \prime} , A \rightarrow A^{ \prime}, B \rightarrow B^{ \prime}, B_0 \rightarrow B_0^{ \prime}, F \rightarrow F^{ \prime}$, следовательно, $B_0^{ \prime}$ - середина отрезка $CA^{ \prime}$, значит, $B0F^{ \prime}$ - средняя линия $AA^{ \prime}B^{ \prime}C$, в которую перешла средняя линия $\triangle ABC$, параллельная $BC$, поэтому $F^{ \prime}$ - точка касания $AB$ с окружностью. При этой симметрии точка $M$ пересечения прямых $AB$ и $A^{ \prime}B^{ \prime}$ перейдет в себя, а значит, лежит на биссектрисе угла $C$, но эта точка и есть точка пересечения стороны $AB$ с касательной ко вписанной окружности, проведенной в $F$ (прямая $A^{ \prime}B^{ \prime})$.
