Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1673
2019-01-20 
Докажите, что стороны любого неравнобедренного треугольника можно либо все увеличить, либо все уменьшить на одну и ту же величину так, чтобы получился прямоугольный треугольник.
Решение:
Пусть $a < b < c$ - длины сторон треугольника. Покажем, что найдется такое число $x$, что отрезки длин $a + x, b + x, c + x$ - стороны прямоугольного треугольника. Положим $P(x) - (x + a)^2 + (x + b)^2 - (x + c)^2$. Имеем: $P(c - a - b) - (c - b)^2 + (c - a)^2 - ((c - a) + (c - b))^2 \leq 0$. Значит, $P(x)$ имеет корни. Достаточно доказать, что $a + x_1 > 0$, где $x_1$ - больший корень $P(x)$. Однако это сразу следует из того, что $a + (c - a - b) > 0$. Тогда $x_1 > c - a - b$, значит $a + x_1 > c - b > 0$, поэтому треугольник существует.
Докажите, что стороны любого неравнобедренного треугольника можно либо все увеличить, либо все уменьшить на одну и ту же величину так, чтобы получился прямоугольный треугольник.
Решение:
Пусть $a < b < c$ - длины сторон треугольника. Покажем, что найдется такое число $x$, что отрезки длин $a + x, b + x, c + x$ - стороны прямоугольного треугольника. Положим $P(x) - (x + a)^2 + (x + b)^2 - (x + c)^2$. Имеем: $P(c - a - b) - (c - b)^2 + (c - a)^2 - ((c - a) + (c - b))^2 \leq 0$. Значит, $P(x)$ имеет корни. Достаточно доказать, что $a + x_1 > 0$, где $x_1$ - больший корень $P(x)$. Однако это сразу следует из того, что $a + (c - a - b) > 0$. Тогда $x_1 > c - a - b$, значит $a + x_1 > c - b > 0$, поэтому треугольник существует.
