Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1671
2019-01-20 
В треугольнике $ABC$ угол $C$ - прямой. На стороне $AC$ нашлась точка $D$, а на отрезке $BD$ - точка $K$ такие, что $\angle ABC = \angle KAD = \angle AKD$. Докажите, что $BK = 2DC$.
Решение:
Отложим на продолжении $DC$ за точку $C$ отрезок $CM = CD$ (см. рис.). Тогда $BD = BM$ (в треугольнике $BDM$ медиана совпадает с высотой). Имеем $\angle BAK = \angle AKD - \angle ABK = \angle ABC - \angle ABK = \angle KBC = \angle CBM$, так что $ \angle BAM = \angle BAK + \angle KAC = \angle CBM + \angle ABC = \angle ABM$. Значит, $ \triangle ABM$ - равнобедренный с основанием $AB$, т. е. $AM = BM$.
Значит, $BK = BD - KD = BM - KD = AM - KD = AM - AD = DM = 2DC$, что и требовалось доказать.
В треугольнике $ABC$ угол $C$ - прямой. На стороне $AC$ нашлась точка $D$, а на отрезке $BD$ - точка $K$ такие, что $\angle ABC = \angle KAD = \angle AKD$. Докажите, что $BK = 2DC$.
Решение:
Отложим на продолжении $DC$ за точку $C$ отрезок $CM = CD$ (см. рис.). Тогда $BD = BM$ (в треугольнике $BDM$ медиана совпадает с высотой). Имеем $\angle BAK = \angle AKD - \angle ABK = \angle ABC - \angle ABK = \angle KBC = \angle CBM$, так что $ \angle BAM = \angle BAK + \angle KAC = \angle CBM + \angle ABC = \angle ABM$. Значит, $ \triangle ABM$ - равнобедренный с основанием $AB$, т. е. $AM = BM$.
Значит, $BK = BD - KD = BM - KD = AM - KD = AM - AD = DM = 2DC$, что и требовалось доказать.
