Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 167
2014-06-07 
Доказать, что уравнение
$[x] + [2x] + [4x] + [8x] + [16x] + [32x] = 12345$
не имеет решений.
Решение:
Докажем, что для любого $k \in \mathbf{N}$ справедливы оценки
$k [x] \leq [kx] \leq k [x] + k - 1$.
Действительно, обозначим $m = [x], \alpha = \{ x \}$, тогда получаем $x = m+ \alpha, m \in \mathbf{Z}, 0 \leq \alpha < 1$ и
$km = [km] \leq [kx] = [km + k \alpha] \leq km + k \alpha < km + k$.
Таким образом, имеем
$S=[x] + [2x] + [4x] + [8x] + [16x] + [32x] \leq $
$\leq 63 [x] + (1 + 3 + 7 +15 + 31) = 63 [x] + 57$ и $S \geq 63 [x]$
т. е. для некоторого $m \in \mathbf{Z}$ имеют место оценки
$63m \leq S \leq 63m + 57$.
С другой стороны, $12345 = 63 \cdot 195 + 60$, поэтому равенство $S = 12345$ невозможно ни при каком значении $x$.
Доказать, что уравнение
$[x] + [2x] + [4x] + [8x] + [16x] + [32x] = 12345$
не имеет решений.
Решение:
Докажем, что для любого $k \in \mathbf{N}$ справедливы оценки
$k [x] \leq [kx] \leq k [x] + k - 1$.
Действительно, обозначим $m = [x], \alpha = \{ x \}$, тогда получаем $x = m+ \alpha, m \in \mathbf{Z}, 0 \leq \alpha < 1$ и
$km = [km] \leq [kx] = [km + k \alpha] \leq km + k \alpha < km + k$.
Таким образом, имеем
$S=[x] + [2x] + [4x] + [8x] + [16x] + [32x] \leq $
$\leq 63 [x] + (1 + 3 + 7 +15 + 31) = 63 [x] + 57$ и $S \geq 63 [x]$
т. е. для некоторого $m \in \mathbf{Z}$ имеют место оценки
$63m \leq S \leq 63m + 57$.
С другой стороны, $12345 = 63 \cdot 195 + 60$, поэтому равенство $S = 12345$ невозможно ни при каком значении $x$.
