Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1663
2019-01-20 
Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$. Пусть $I_A, I_B, l_C, I_D$ - биссектрисы внешних углов этого четырехугольника. Прямые $I_A$ и $l_B$ пересекаются в точке $K$, прямые $l_B$ и $l_C$ - в точке $L$, прямые $L_C$ и $l_D$ - в точке $M$, прямые $l_D$ и $I_A$ - в точке $N$. Докажите, что если окружности, описанные около треугольников $ABK$ и $CDM$, касаются внешним образом, то и окружности, описанные около треугольников $BCL$ и $DAN$ касаются внешним образом.
Решение:
Пусть $P$ - точка пересечения продолжений сторон $BC$ и $AD$ (случай $AD \parallel BC$ разберем отдельно). Для определенности, пусть точка $P$ лежит на продолжении $BC$ за точку $B$ (см. рис.). По условию $BK$ и $AK$ - биссектрисы углов $PBA$ и $PAB$, поэтому точка их пересечения $K$ является центром вписанной окружности треугольника $ABP$. Аналогично, точка $M$ является центром вневписанной окружности треугольника $CDP$, следовательно, $K$ и $M$ лежат на прямой $m$, являющейся биссектрисой угла $CPD$.
Пусть точки $O_1$ и $O_2$ - центры описанных окружностей треугольников $ABK$ и $CDM$. Центр $K^{ \prime}$ вневписанной окружности треугольника $ABP$ лежит на биссектрисах углов $P, A$ и $B$. Тогда углы $KAK^{ \prime}$ и $KBK^{ \prime}$ прямые, поэтому четырехугольник $AKBK^{ \prime}$ вписанный, и $O_l$ - середина $KK^{ \prime}$, т. е. лежит на $m$. Аналогично, $O_2$ лежит на $m$ и является серединой отрезка $MK^{ \prime \prime}$, где $K^{ \prime \prime}$ - центр вневписанной окружности треугольника $DMC$.
(В случае $AD \parallel BC$ легко видеть, что $K$ и $M$, а также $O_l$ и $O_2$ лежат на прямой $m$, являющейся средней линией трапеции или параллелограмма $ABCD$.)
Пусть окружности, описанные около треугольников $ABK$ и $CDM$, касаются внешним образом. Их центры $O_l$ и $O_2$ лежат на $m$, поэтому точка $I$ касания лежит на $m$ и совпадает с $K^{ \prime}$ и $K^{ \prime \prime}$. Значит, $I$ - точка пересечения биссектрис внутренних углов четырехугольника $ABCD$. Тогда $ABCD$ - описанный четырехугольник и $I$ - центр вписанной в него окружности.
Наоборот, если $ABCD$ - описанный четырехугольник и $I$ - центр вписанной в него окружности, то $AI \parallel l_A, BI \parallel l_B, CI \parallel l_C$ и $DI \parallel l_D$. Поэтому точка $I$ лежит на окружности, описанной вокруг треугольника $ABK$, и диаметрально противоположна точке $K$, и также $I$ лежит на окружности, описанной вокруг треугольника $CDM$, и диаметрально противоположна точке $M$. Таким образом, $I$ лежит на $m$ и является точкой внешнего касания окружностей, описанных около треугольников $ABK$ и $CDM$.
Итак, внешнее касание окружностей, описанных около треугольников $ABK$ и $CDM$, равносильно описанности четырехугольника $ABCD$. Но то же самое справедливо и для пары окружностей, описанных около треугольников $BCL$ и $DAN$, откуда следует утверждение задачи.
Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$. Пусть $I_A, I_B, l_C, I_D$ - биссектрисы внешних углов этого четырехугольника. Прямые $I_A$ и $l_B$ пересекаются в точке $K$, прямые $l_B$ и $l_C$ - в точке $L$, прямые $L_C$ и $l_D$ - в точке $M$, прямые $l_D$ и $I_A$ - в точке $N$. Докажите, что если окружности, описанные около треугольников $ABK$ и $CDM$, касаются внешним образом, то и окружности, описанные около треугольников $BCL$ и $DAN$ касаются внешним образом.
Решение:
Пусть $P$ - точка пересечения продолжений сторон $BC$ и $AD$ (случай $AD \parallel BC$ разберем отдельно). Для определенности, пусть точка $P$ лежит на продолжении $BC$ за точку $B$ (см. рис.). По условию $BK$ и $AK$ - биссектрисы углов $PBA$ и $PAB$, поэтому точка их пересечения $K$ является центром вписанной окружности треугольника $ABP$. Аналогично, точка $M$ является центром вневписанной окружности треугольника $CDP$, следовательно, $K$ и $M$ лежат на прямой $m$, являющейся биссектрисой угла $CPD$.
Пусть точки $O_1$ и $O_2$ - центры описанных окружностей треугольников $ABK$ и $CDM$. Центр $K^{ \prime}$ вневписанной окружности треугольника $ABP$ лежит на биссектрисах углов $P, A$ и $B$. Тогда углы $KAK^{ \prime}$ и $KBK^{ \prime}$ прямые, поэтому четырехугольник $AKBK^{ \prime}$ вписанный, и $O_l$ - середина $KK^{ \prime}$, т. е. лежит на $m$. Аналогично, $O_2$ лежит на $m$ и является серединой отрезка $MK^{ \prime \prime}$, где $K^{ \prime \prime}$ - центр вневписанной окружности треугольника $DMC$.
(В случае $AD \parallel BC$ легко видеть, что $K$ и $M$, а также $O_l$ и $O_2$ лежат на прямой $m$, являющейся средней линией трапеции или параллелограмма $ABCD$.)
Пусть окружности, описанные около треугольников $ABK$ и $CDM$, касаются внешним образом. Их центры $O_l$ и $O_2$ лежат на $m$, поэтому точка $I$ касания лежит на $m$ и совпадает с $K^{ \prime}$ и $K^{ \prime \prime}$. Значит, $I$ - точка пересечения биссектрис внутренних углов четырехугольника $ABCD$. Тогда $ABCD$ - описанный четырехугольник и $I$ - центр вписанной в него окружности.
Наоборот, если $ABCD$ - описанный четырехугольник и $I$ - центр вписанной в него окружности, то $AI \parallel l_A, BI \parallel l_B, CI \parallel l_C$ и $DI \parallel l_D$. Поэтому точка $I$ лежит на окружности, описанной вокруг треугольника $ABK$, и диаметрально противоположна точке $K$, и также $I$ лежит на окружности, описанной вокруг треугольника $CDM$, и диаметрально противоположна точке $M$. Таким образом, $I$ лежит на $m$ и является точкой внешнего касания окружностей, описанных около треугольников $ABK$ и $CDM$.
Итак, внешнее касание окружностей, описанных около треугольников $ABK$ и $CDM$, равносильно описанности четырехугольника $ABCD$. Но то же самое справедливо и для пары окружностей, описанных около треугольников $BCL$ и $DAN$, откуда следует утверждение задачи.
