Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1662
2019-01-20 
На плоскости даны $n > 1$ точек. Двое по очереди соединяют еще не соединенную пару точек вектором одного из двух возможных направлений. Если после очередного хода какого-то игрока сумма всех нарисованных векторов нулевая, то выигрывает второй; если же очередной ход невозможен, а нулевой суммы не было, то выигрывает первый. Кто выигрывает при правильной игре?
Решение:
Покажем, что первому игроку достаточно каждым ходом проводить вектор с максимальной абсциссой, а из всех векторов, имеющих абсциссу, равную максимальной, вектор с максимальной ординатой.
Действительно, докажем, что тогда сумма всех проведенных векторов будет иметь либо положительную абсциссу, либо нулевую абсциссу и положительную ординату (назовем такой вектор «положительным»). Очевидно, что каждым своим ходом первый игрок проводит положительный вектор, и сумма двух положительных векторов положительна. Также очевидно, что сумма векторов, проведенных за ход первым и вторым, положительна или ноль. Поэтому достаточно доказать, что после первого хода второго игрока эта сумма будет положительна (т. е. не будет нулевой). Пусть она нулевая, первый провел вектор $\vec{AB}$, а второй - $\vec{CD}$. Если абсциссы точек $A$ и $D$ не равны, то один из векторов $\vec{AC}$ и $\vec{DB}$ имеет абсциссу, большую, чем у $\vec{AB}$ (сумма этих абсцисс равна удвоенной абсциссе $\vec{AC}$), что невозможно. Если абсциссы $A$ и $D$ совпадают, то не совпадают ординаты (иначе $A = D, B = C$); тогда абсциссы векторов $\vec {AC}, \vec {DB}$ и $\vec{AB}$ равны, но у какого-то из первых двух векторов ордината больше, чем у третьего, что опять-таки невозможно.
Ответ. Выигрывает первый.
На плоскости даны $n > 1$ точек. Двое по очереди соединяют еще не соединенную пару точек вектором одного из двух возможных направлений. Если после очередного хода какого-то игрока сумма всех нарисованных векторов нулевая, то выигрывает второй; если же очередной ход невозможен, а нулевой суммы не было, то выигрывает первый. Кто выигрывает при правильной игре?
Решение:
Покажем, что первому игроку достаточно каждым ходом проводить вектор с максимальной абсциссой, а из всех векторов, имеющих абсциссу, равную максимальной, вектор с максимальной ординатой.
Действительно, докажем, что тогда сумма всех проведенных векторов будет иметь либо положительную абсциссу, либо нулевую абсциссу и положительную ординату (назовем такой вектор «положительным»). Очевидно, что каждым своим ходом первый игрок проводит положительный вектор, и сумма двух положительных векторов положительна. Также очевидно, что сумма векторов, проведенных за ход первым и вторым, положительна или ноль. Поэтому достаточно доказать, что после первого хода второго игрока эта сумма будет положительна (т. е. не будет нулевой). Пусть она нулевая, первый провел вектор $\vec{AB}$, а второй - $\vec{CD}$. Если абсциссы точек $A$ и $D$ не равны, то один из векторов $\vec{AC}$ и $\vec{DB}$ имеет абсциссу, большую, чем у $\vec{AB}$ (сумма этих абсцисс равна удвоенной абсциссе $\vec{AC}$), что невозможно. Если абсциссы $A$ и $D$ совпадают, то не совпадают ординаты (иначе $A = D, B = C$); тогда абсциссы векторов $\vec {AC}, \vec {DB}$ и $\vec{AB}$ равны, но у какого-то из первых двух векторов ордината больше, чем у третьего, что опять-таки невозможно.
Ответ. Выигрывает первый.
