Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1661
2019-01-20 
Пусть $P(x)$ - многочлен нечетной степени. Докажите, что уравнение $P(P(x)) = 0$ имеет не меньше различных действительных корней, чем уравнение $P(x) = 0$.
Решение:
Пусть $x_l, \cdots, x_N$ - все различные корни уравнения $P(x) = 0$. Нам необходимо доказать, что уравнение $P(P(x))$ имеет по крайней мере $N$ различных корней.
Рассмотрим $N$ уравнений: $P(x) = x_l, P(x) = x_2, \cdots, P(x) = x_N$. Каждое из них имеет решение, так как $P(x)$ - многочлен нечетной степени. Пусть $a_l$ - корень первого уравнения, $a_2$ - второго, \cdots,$a_N$ - $N$-го. Тогда для любых $i$ и $j (i = j)$ числа $a_i$ и $a_j$ различны, так как $P(a_i) = x_i = x_j = P(a_j)$. При этом каждое из чисел $a_i$ является корнем уравнения $P(P(x)) = 0$, так как $P(P(a_i)) = P(x_i) = 0$. То есть уравнение $P(P(x)) = 0$ имеет по крайней мере $N$ различных корней $a_l,\cdots, a_N$.
Пусть $P(x)$ - многочлен нечетной степени. Докажите, что уравнение $P(P(x)) = 0$ имеет не меньше различных действительных корней, чем уравнение $P(x) = 0$.
Решение:
Пусть $x_l, \cdots, x_N$ - все различные корни уравнения $P(x) = 0$. Нам необходимо доказать, что уравнение $P(P(x))$ имеет по крайней мере $N$ различных корней.
Рассмотрим $N$ уравнений: $P(x) = x_l, P(x) = x_2, \cdots, P(x) = x_N$. Каждое из них имеет решение, так как $P(x)$ - многочлен нечетной степени. Пусть $a_l$ - корень первого уравнения, $a_2$ - второго, \cdots,$a_N$ - $N$-го. Тогда для любых $i$ и $j (i = j)$ числа $a_i$ и $a_j$ различны, так как $P(a_i) = x_i = x_j = P(a_j)$. При этом каждое из чисел $a_i$ является корнем уравнения $P(P(x)) = 0$, так как $P(P(a_i)) = P(x_i) = 0$. То есть уравнение $P(P(x)) = 0$ имеет по крайней мере $N$ различных корней $a_l,\cdots, a_N$.
