Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 166
2014-06-07 
Решить уравнение
$[\sqrt[3]{1}] + [\sqrt[3]{2}] + \cdots + [\sqrt[3]{x^{3}-1}] = 400$
в натуральных числах.
Решение:
Заметим, что соотношение $[\sqrt[3]{m}]=k$, где $m, k \in \mathbf{N}$, равносильно неравенству $k^{3} \leq m \leq (k + l)^{3} – 1$. Количество натуральных чисел $m$, удовлетворяющих этому условию (при фиксированном $k$), равно $(k + 1)^{3} – k^{3} = 3k^{2} + 3k + 1$. Следовательно, левая часть уравнения равна $\sum_{k=1}^{x-1}S_{k}$, где обозначено
$S_{k} = k (3k^{2} + 3k + 1)$.
Так как $S_{k} > 0$ при $k \in \mathbf{N}, S_{1} = 1 \cdot 7 = 7, S_{2} = 2 \cdot 19 = 38, S_{3} = 3 \cdot 61 = 244$ и $S_{1}+S_{2} + S_{3} + S_{4} = 400$, то исходное уравнение имеет единственное решение в натуральных числах: $x = 5$.
Решить уравнение
$[\sqrt[3]{1}] + [\sqrt[3]{2}] + \cdots + [\sqrt[3]{x^{3}-1}] = 400$
в натуральных числах.
Решение:
Заметим, что соотношение $[\sqrt[3]{m}]=k$, где $m, k \in \mathbf{N}$, равносильно неравенству $k^{3} \leq m \leq (k + l)^{3} – 1$. Количество натуральных чисел $m$, удовлетворяющих этому условию (при фиксированном $k$), равно $(k + 1)^{3} – k^{3} = 3k^{2} + 3k + 1$. Следовательно, левая часть уравнения равна $\sum_{k=1}^{x-1}S_{k}$, где обозначено
$S_{k} = k (3k^{2} + 3k + 1)$.
Так как $S_{k} > 0$ при $k \in \mathbf{N}, S_{1} = 1 \cdot 7 = 7, S_{2} = 2 \cdot 19 = 38, S_{3} = 3 \cdot 61 = 244$ и $S_{1}+S_{2} + S_{3} + S_{4} = 400$, то исходное уравнение имеет единственное решение в натуральных числах: $x = 5$.
