Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1652
2019-01-20 
Серединный перпендикуляр к стороне $AC$ треугольника $ABC$ пересекает сторону $BC$ в точке $M$ (рис.). Биссектриса угла $AMB$ пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точке $K$. Докажите, что прямая, проходящая через центры вписанных окружностей треугольников $AKM$ и $BKM$, перпендикулярна биссектрисе угла $AKB$.
Решение:
Заметим, что $KM \parallel AC$. Продлим $KM$ до пересечения с описанной окружностью $ABC$ в точке $K^{ \prime } \neq K$ (см. рис.). Тогда $\angle KBC = \angle K^{ \prime}KA = \angle MKA$, поскольку эти углы опираются на равные дуги. Тогда треугольник $MAK$ подобен треугольнику $MKB$ и переходит в него при поворотной гомотетии с центром $M$ и углом $\alpha$. Эта поворотная гомотетия переведет центр вписанной окружности треугольника $AKM (O_1)$ в центр вписанной окружности $\triangle KBM (O_2)$. Значит, $\triangle O_1MO_2$ подобен треугольнику $KMB$ и переходит в него при поворотной гомотетии с центром $M$ и углом $\alpha /2$. Но тогда угол между прямыми $O_1O_2$ и $KB$ равен $\alpha /2$, аналогично, угол между $O_1O_2$ и $KA$ тоже равен $\alpha /2$, значит, прямая $O_1O_2$ перпендикулярна биссектрисе угла $AKB$.
Серединный перпендикуляр к стороне $AC$ треугольника $ABC$ пересекает сторону $BC$ в точке $M$ (рис.). Биссектриса угла $AMB$ пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точке $K$. Докажите, что прямая, проходящая через центры вписанных окружностей треугольников $AKM$ и $BKM$, перпендикулярна биссектрисе угла $AKB$.
Решение:
Заметим, что $KM \parallel AC$. Продлим $KM$ до пересечения с описанной окружностью $ABC$ в точке $K^{ \prime } \neq K$ (см. рис.). Тогда $\angle KBC = \angle K^{ \prime}KA = \angle MKA$, поскольку эти углы опираются на равные дуги. Тогда треугольник $MAK$ подобен треугольнику $MKB$ и переходит в него при поворотной гомотетии с центром $M$ и углом $\alpha$. Эта поворотная гомотетия переведет центр вписанной окружности треугольника $AKM (O_1)$ в центр вписанной окружности $\triangle KBM (O_2)$. Значит, $\triangle O_1MO_2$ подобен треугольнику $KMB$ и переходит в него при поворотной гомотетии с центром $M$ и углом $\alpha /2$. Но тогда угол между прямыми $O_1O_2$ и $KB$ равен $\alpha /2$, аналогично, угол между $O_1O_2$ и $KA$ тоже равен $\alpha /2$, значит, прямая $O_1O_2$ перпендикулярна биссектрисе угла $AKB$.
