Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1651
2019-01-20 
В выпуклом многоугольнике на плоскости содержится не меньше $m^2 + 1$ точек с целыми координатами. Докажите, что в нем найдется $m +1$ точек с целыми координатами, которые лежат на одной прямой.
Решение:
По принципу Дирихле среди $m^2 + 1$ точек с целыми координатами найдутся такие две точки $(k, l)$ и $(k_1, l_1)$, что $k = k_1 (mod m)$ и $l = l_1 (mod m)$. Тогда $m + 1$ точек $(к + \frac{k_1 - k}{m}i, l + \frac{l_1 - l}{m}i), 0 \leq i \leq m$, имеют целые координаты и лежат на отрезке, соединяющем точки $(k, l)$ и $(k_1, l_1)$.
Замечание. Утверждение справедливо для выпуклого многогранника в пространстве с заменой $m^2 + 1$ на $m^3 + 1$.
В выпуклом многоугольнике на плоскости содержится не меньше $m^2 + 1$ точек с целыми координатами. Докажите, что в нем найдется $m +1$ точек с целыми координатами, которые лежат на одной прямой.
Решение:
По принципу Дирихле среди $m^2 + 1$ точек с целыми координатами найдутся такие две точки $(k, l)$ и $(k_1, l_1)$, что $k = k_1 (mod m)$ и $l = l_1 (mod m)$. Тогда $m + 1$ точек $(к + \frac{k_1 - k}{m}i, l + \frac{l_1 - l}{m}i), 0 \leq i \leq m$, имеют целые координаты и лежат на отрезке, соединяющем точки $(k, l)$ и $(k_1, l_1)$.
Замечание. Утверждение справедливо для выпуклого многогранника в пространстве с заменой $m^2 + 1$ на $m^3 + 1$.
