Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1650
2019-01-20 
Какова наибольшая длина арифметической прогрессии из натуральных чисел $a_1, a_2,\cdots, a_n,$ с разностью 2, обладающей свойством: $a_{k}^{2}+1$ - простое при всех $k = 1, 2,\cdots,n$?
Решение:
Натуральные числа вида $a = 5m \pm 2$ таковы, что $а^2 + 1 \vdots 5$, поэтому не дают простых $p = a^2 + 1$, кроме случая $p = 5$ при $a = 2$. С другой стороны, среди чисел $b, b + 2, b + 4,\cdots$ не более двух подряд идущих чисел, не имеющих вид $5m \pm 2$. Значит, если в прогрессии не содержится число 2, то $n \leq 2$. Если $a_1 = 2$, то $n \leq 3$, так как $a_4 = 8 = 5 \cdot 2 - 2$. Числа $a_1 = 2, a_2 =4, a_3 = 6$ дают искомую тройку: $5, 17, 37$ - простые числа.
Ответ. $n = 3$.
Какова наибольшая длина арифметической прогрессии из натуральных чисел $a_1, a_2,\cdots, a_n,$ с разностью 2, обладающей свойством: $a_{k}^{2}+1$ - простое при всех $k = 1, 2,\cdots,n$?
Решение:
Натуральные числа вида $a = 5m \pm 2$ таковы, что $а^2 + 1 \vdots 5$, поэтому не дают простых $p = a^2 + 1$, кроме случая $p = 5$ при $a = 2$. С другой стороны, среди чисел $b, b + 2, b + 4,\cdots$ не более двух подряд идущих чисел, не имеющих вид $5m \pm 2$. Значит, если в прогрессии не содержится число 2, то $n \leq 2$. Если $a_1 = 2$, то $n \leq 3$, так как $a_4 = 8 = 5 \cdot 2 - 2$. Числа $a_1 = 2, a_2 =4, a_3 = 6$ дают искомую тройку: $5, 17, 37$ - простые числа.
Ответ. $n = 3$.
