ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-06-07   
Решить уравнение
$1 - |x+1| = \frac{[x]-x}{|x-1|}$.


Решение:


Исходное уравнение равносильно уравнению
$|x-1|(|x+1| - 1) = {x}$ при $x \neq 1$.
Рассмотрим следующие случаи: $x > 1, -1 \leq x < 1$ и $x < -1$. При $x > 1$ уравнение записывается в виде $x (x - 1) = \{ x \}$ и не имеет решений, так как $x (x - 1) > x – 1 \geq \{ x \}$. При $- 1 \leq x < 1$ имеем уравнение
$x(1-x) = {x}$.
Так как ${x} \geq 0$ и $1 - x > 0$, то $x \geq 0$. Но при $0 \leq x < 1$ справедливо равенство $\{ x \} = x$. Следовательно, в этом случае получаем уравнение $x(1-x) = x$, т. е. $x =0$. При $x < - 1$ получаем уравнение
$(2 + x)(x - 1) = \{ x \}$.
Так как $x - 1 < 0$ и $\{ x \} \geq 0$, то $2 + x \leq 0$, т. е. $x \leq -2$. Число $x = -2$ удовлетворяет уравнению. Если $ - 3 \leq x < - 2$, то $\{ x \} = x + 3$, а уравнение принимает вид
$(2 + x)(x - 1) = 3 + x$
и имеет решение $- \sqrt{5} \in [-3; - 2)$. Наконец, ни одно значение $x < -3$ не удовлетворяет уравнению, ибо при $x < -3$ имеем
$|(2+x)(1-x)| = |2+x| \cdot |1-x| > 1 \cdot 4 > |\{ x \} |$.
Таким образом, получаем ответ: $0; -2; - \sqrt{5}$.