Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1648
2019-01-20 
Пусть $A^{ \prime }$ - точка на одной из сторон трапеции $ABCD$ такая, что прямая $AA^{ \prime }$ делит площадь трапеции пополам. Точки $B^{ \prime }, C^{ \prime }, D^{ \prime }$ определяются аналогично. Докажите, что точки пересечения диагоналей четырехугольников $ABCD$ и $A^{ \prime},B^{ \prime }, C^{ \prime }, D^{ \prime }$ симметричны относительно середины средней линии трапеции $ABCD$.
Решение:
Пусть $AD$ - большее, а $BC$ - меньшее основания трапеции, $M$ - середина ее средней линии $PQ$. Проведем прямую $CM$ до пересечения с основанием $AD$ в точке $C^{ \prime }$ (см. рис.). Так как $MQ$ - средняя линия треугольника $CC^{ \prime}D$, то длина $CD$ равна длине средней линии трапеции, а, значит, площадь треугольника $CC^{ \prime}D$ равна половине площади трапеции. Это и есть одна из четырех искомых точек, а так как $AD$ - большее основание, то его длина больше длины средней линии, т. е. точка $C^{ \prime}$ находится на основании, а не на его продолжении. Аналогично можно построить точку $B^{ \prime}$, она тоже окажется на основании $AD$.
Проведем через точку $C^{ \prime}$ прямую, параллельную диагонали $AC$, и обозначим пересечение ее со стороной $CD$ через $A^{ \prime}$ (см. рис.). Рассмотрим четырехугольник $ACA^{ \prime }C^{ \prime }$ - это трапеция, пусть ее диагонали $AA^{ \prime}$ и $CC^{ \prime}$ пересекаются в точке $T$, значит треугольники $ATC^{ \prime}$ и $CTA^{ \prime}$ равновелики. Это, в свою очередь, означает, что треугольники $CC^{ \prime}D$ и $AA^{ \prime}D$ равновелики и имеют площадь, равную половине площади трапеции $ABCD$. Так строятся еще две точки, указанные в условии. Получается, что диагонали четырехугольников $ABCD$ и $A^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}D^{ \prime}$ попарно параллельны, и поскольку точка $M$, являясь серединой $CC^{ \prime}$, равноудалена от прямых $AC$ и $AC^{ \prime}$ (и аналогично от прямых $BD$ и $B^{ \prime}D^{ \prime}$), таким образом, прямые $A^{ \prime}C^{ \prime}$ и $B^{ \prime}D^{ \prime}$ симметричны прямым $AC$ и $BD$ относительно середины средней линии трапеции $ABCD$. Раз диагонали четырехугольников $ABCD$ и $A^{ \prime}C^{ \prime}$ и $B^{ \prime}D^{ \prime}$ симметричны относительно точки $M$, то и точки их пересечения симметричны относительно $M$.
Пусть $A^{ \prime }$ - точка на одной из сторон трапеции $ABCD$ такая, что прямая $AA^{ \prime }$ делит площадь трапеции пополам. Точки $B^{ \prime }, C^{ \prime }, D^{ \prime }$ определяются аналогично. Докажите, что точки пересечения диагоналей четырехугольников $ABCD$ и $A^{ \prime},B^{ \prime }, C^{ \prime }, D^{ \prime }$ симметричны относительно середины средней линии трапеции $ABCD$.
Решение:
Пусть $AD$ - большее, а $BC$ - меньшее основания трапеции, $M$ - середина ее средней линии $PQ$. Проведем прямую $CM$ до пересечения с основанием $AD$ в точке $C^{ \prime }$ (см. рис.). Так как $MQ$ - средняя линия треугольника $CC^{ \prime}D$, то длина $CD$ равна длине средней линии трапеции, а, значит, площадь треугольника $CC^{ \prime}D$ равна половине площади трапеции. Это и есть одна из четырех искомых точек, а так как $AD$ - большее основание, то его длина больше длины средней линии, т. е. точка $C^{ \prime}$ находится на основании, а не на его продолжении. Аналогично можно построить точку $B^{ \prime}$, она тоже окажется на основании $AD$.
Проведем через точку $C^{ \prime}$ прямую, параллельную диагонали $AC$, и обозначим пересечение ее со стороной $CD$ через $A^{ \prime}$ (см. рис.). Рассмотрим четырехугольник $ACA^{ \prime }C^{ \prime }$ - это трапеция, пусть ее диагонали $AA^{ \prime}$ и $CC^{ \prime}$ пересекаются в точке $T$, значит треугольники $ATC^{ \prime}$ и $CTA^{ \prime}$ равновелики. Это, в свою очередь, означает, что треугольники $CC^{ \prime}D$ и $AA^{ \prime}D$ равновелики и имеют площадь, равную половине площади трапеции $ABCD$. Так строятся еще две точки, указанные в условии. Получается, что диагонали четырехугольников $ABCD$ и $A^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}D^{ \prime}$ попарно параллельны, и поскольку точка $M$, являясь серединой $CC^{ \prime}$, равноудалена от прямых $AC$ и $AC^{ \prime}$ (и аналогично от прямых $BD$ и $B^{ \prime}D^{ \prime}$), таким образом, прямые $A^{ \prime}C^{ \prime}$ и $B^{ \prime}D^{ \prime}$ симметричны прямым $AC$ и $BD$ относительно середины средней линии трапеции $ABCD$. Раз диагонали четырехугольников $ABCD$ и $A^{ \prime}C^{ \prime}$ и $B^{ \prime}D^{ \prime}$ симметричны относительно точки $M$, то и точки их пересечения симметричны относительно $M$.
