Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1644
2019-01-20 
Приведенный квадратный трехчлен с целыми коэффициентами в трех последовательных целых точках принимает простые значения. Докажите, что он принимает простое значение по крайней мере еще в одной целой точке.
Решение:
Пусть $f(n - 1) = p_1, f(n) = p_2, f(n + 1) = p_3$. Из равенства $f(-a - x) = f(x)$, где $f(x) = x^2 + ax + b$ - данный квадратный трехчлен, следует, что если в целочисленной точке $x_0$ трехчлен $f$ принимает простое значение, то и в целочисленной точке $-a - x_0$ он также принимает простое значение. Отсюда следует утверждение задачи, если точка $K(n, f(n))$ не является вершиной параболы $y = f(x)$.
Если же $K(n, f(n))$ - вершина параболы, т. е. $f(n \pm c) = f(n) + c^2$, то $f(n - 1) = f(n + 1) = f(n) + 1$. Из простоты чисел $f(n)$ и $f(n + 1)$ следует, что $f(n) = 2, f(n +1) = 3$. Но тогда $f(n + 3) = f(n) + 32 = 11$ - простое.
Приведенный квадратный трехчлен с целыми коэффициентами в трех последовательных целых точках принимает простые значения. Докажите, что он принимает простое значение по крайней мере еще в одной целой точке.
Решение:
Пусть $f(n - 1) = p_1, f(n) = p_2, f(n + 1) = p_3$. Из равенства $f(-a - x) = f(x)$, где $f(x) = x^2 + ax + b$ - данный квадратный трехчлен, следует, что если в целочисленной точке $x_0$ трехчлен $f$ принимает простое значение, то и в целочисленной точке $-a - x_0$ он также принимает простое значение. Отсюда следует утверждение задачи, если точка $K(n, f(n))$ не является вершиной параболы $y = f(x)$.
Если же $K(n, f(n))$ - вершина параболы, т. е. $f(n \pm c) = f(n) + c^2$, то $f(n - 1) = f(n + 1) = f(n) + 1$. Из простоты чисел $f(n)$ и $f(n + 1)$ следует, что $f(n) = 2, f(n +1) = 3$. Но тогда $f(n + 3) = f(n) + 32 = 11$ - простое.
