Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1642
2019-01-20 
По шоссе мимо наблюдателя проехали «Москвич», «Запорожец» и двигавшаяся им навстречу «Нива». Известно, что когда с наблюдателем поравнялся «Москвич», то он был равноудален от «Запорожца» и Нивы , а когда с наблюдателем поравнялась Нива , то она была равноудалена от «Москвича» и «Запорожца». Докажите, что «Запорожец» в момент проезда мимо наблюдателя был равноудален от Нивы и «Москвича». (Скорости автомашин считаем постоянными. В рассматриваемые моменты равноудаленные машины находились по разные стороны от наблюдателя.)
Решение:
Пусть наблюдатель находится в точке $O$, а «Запорожец» и «Нива» в момент проезда «Москвича» мимо наблюдателя - в точках $Z_0$ и $N_0$ соответственно. Через $Z_1$ и $M_1$ обозначим точки, где находились соответственно «Запорожец» и «Москвич» в тот момент, когда мимо наблюдателя проезжала «Нива», а через $M_2$ и $N_2$ - точки, где находились соответственно «Москвич» и «Нива», когда с наблюдателем поравнялся Запорожец. Докажем равенство $OM_2 = ON_2$, выполнение которого и будет означать справедливость утверждения задачи.
В силу постоянства скоростей имеем $\frac{Z_0Z_1}{Z_0O} = \frac {OM_1}{OM_2}$ и $\frac {Z_0Z_1}{Z_1O} = \frac {ON_0}{ON_2}$, откуда $ОМ_2 = \frac{Z_0O \cdot OM_1}{Z_0Z_1}$ и $ON_2 = \frac {Z_1O \cdot ON_0}{Z_0Z_1}$.
Равенство $OM_2 = ON_2$ теперь следует из того, что по условию задачи $Z_0O = ON_0$ и $OM_1 = Z_10$.
По шоссе мимо наблюдателя проехали «Москвич», «Запорожец» и двигавшаяся им навстречу «Нива». Известно, что когда с наблюдателем поравнялся «Москвич», то он был равноудален от «Запорожца» и Нивы , а когда с наблюдателем поравнялась Нива , то она была равноудалена от «Москвича» и «Запорожца». Докажите, что «Запорожец» в момент проезда мимо наблюдателя был равноудален от Нивы и «Москвича». (Скорости автомашин считаем постоянными. В рассматриваемые моменты равноудаленные машины находились по разные стороны от наблюдателя.)
Решение:
Пусть наблюдатель находится в точке $O$, а «Запорожец» и «Нива» в момент проезда «Москвича» мимо наблюдателя - в точках $Z_0$ и $N_0$ соответственно. Через $Z_1$ и $M_1$ обозначим точки, где находились соответственно «Запорожец» и «Москвич» в тот момент, когда мимо наблюдателя проезжала «Нива», а через $M_2$ и $N_2$ - точки, где находились соответственно «Москвич» и «Нива», когда с наблюдателем поравнялся Запорожец. Докажем равенство $OM_2 = ON_2$, выполнение которого и будет означать справедливость утверждения задачи.
В силу постоянства скоростей имеем $\frac{Z_0Z_1}{Z_0O} = \frac {OM_1}{OM_2}$ и $\frac {Z_0Z_1}{Z_1O} = \frac {ON_0}{ON_2}$, откуда $ОМ_2 = \frac{Z_0O \cdot OM_1}{Z_0Z_1}$ и $ON_2 = \frac {Z_1O \cdot ON_0}{Z_0Z_1}$.
Равенство $OM_2 = ON_2$ теперь следует из того, что по условию задачи $Z_0O = ON_0$ и $OM_1 = Z_10$.
