Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1641
2019-01-20 
Каждую сторону выпуклого четырехугольника продолжили в обе стороны и на всех восьми продолжениях отложили равные между собой отрезки. Оказалось, что получившиеся 8 точек - внешние концы построенных отрезков - различны и лежат на одной окружности. Докажите, что исходный четырехугольник - квадрат.
Решение:
Пусть $ABCD$ - данный четырехугольник, а $A_1A_2B_1B_2C_1C_2D_1D_2$ - полученный восьмиугольник, $O$ - центр описанной около него окружности (см. рис.). Тогда точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $A_1B_2$, т. е. на серединном перпендикуляре к отрезку $AB (AA_1 = BB_2)$. Аналогично, $O$ лежит на серединном перпендикуляре ко всем сторонам четырехугольника $ABCD$, т. е. является центром описанной около него окружности. Тогда $OA_1 = OC_2 = R, OA = OC = r$ и, значит, треугольник $OAA_1$ и $OCC_2$ равны по трем сторонам. Отсюда следует, что $\angle OA_1A = \angle OC_2C$. Значит, равнобедренные треугольники $OA_1B_2$ и $OC_2B_1$ равны, откуда $A_1B_2 = C_2B_1$, т. е. $AB = CB$. Аналогично получаем $BC = CD = DA$, т. е. $ABCD$ - ромб. Но он вписан в окружность (радиуса $r$), значит, является квадратом.
Каждую сторону выпуклого четырехугольника продолжили в обе стороны и на всех восьми продолжениях отложили равные между собой отрезки. Оказалось, что получившиеся 8 точек - внешние концы построенных отрезков - различны и лежат на одной окружности. Докажите, что исходный четырехугольник - квадрат.
Решение:
Пусть $ABCD$ - данный четырехугольник, а $A_1A_2B_1B_2C_1C_2D_1D_2$ - полученный восьмиугольник, $O$ - центр описанной около него окружности (см. рис.). Тогда точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $A_1B_2$, т. е. на серединном перпендикуляре к отрезку $AB (AA_1 = BB_2)$. Аналогично, $O$ лежит на серединном перпендикуляре ко всем сторонам четырехугольника $ABCD$, т. е. является центром описанной около него окружности. Тогда $OA_1 = OC_2 = R, OA = OC = r$ и, значит, треугольник $OAA_1$ и $OCC_2$ равны по трем сторонам. Отсюда следует, что $\angle OA_1A = \angle OC_2C$. Значит, равнобедренные треугольники $OA_1B_2$ и $OC_2B_1$ равны, откуда $A_1B_2 = C_2B_1$, т. е. $AB = CB$. Аналогично получаем $BC = CD = DA$, т. е. $ABCD$ - ромб. Но он вписан в окружность (радиуса $r$), значит, является квадратом.
