Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1639
2019-01-20 
Дан треугольник $ABC$ с попарно различными сторонами. На его сторонах построены внешним образом правильные треугольники $ABC_1, BCA_1 , CAB_1$. Докажите, что треугольник $A_1 B_1 C_1$ не может быть правильным.
Решение:
Предположим противное, т. е. пусть треугольник $A_1B_1C_1$ - правильный. Если точка $A$ лежит на отрезке $B_1C_1$, то из равенства $\angle C_1B_1A_1 = \angle AB_1C = 60^{\circ}$ следует, что $C$ лежит на $B_1A_1$. При этом $ \angle BAC = 180^{\circ} - \angle BAC_1 - \angle CAB_1 = 60^{\circ}$. Аналогично, $\angle ACB = 60^{\circ}$ и $\triangle ABC$ - правильный. Противоречие. Значит, точка $A$ не лежит на $B_1C_1$.
Рассмотрим треугольники $A_1BC_1, B_1CA_1, C_1AB_1$. Назовем один из них внешним, если он пересекается с $\triangle ABC$ только по соответствующей вершине (так, на рисунке рис. внешними являются треугольники $A_1BC_1$ и $C_1AB_1$, а на рис. - $AA_1BC_1$); иначе назовем его внутренним. Тогда к одной из вершин $A_1, B_1, C_1$ прилегают либо два внешних треугольника (см. рис.), либо два внутренних (см. рис.). В первом случае угол треугольника $A_1B_1C_1$ при этой вершине больше $60^{\circ}$, во втором - меньше. Противоречие.
Дан треугольник $ABC$ с попарно различными сторонами. На его сторонах построены внешним образом правильные треугольники $ABC_1, BCA_1 , CAB_1$. Докажите, что треугольник $A_1 B_1 C_1$ не может быть правильным.
Решение:
Предположим противное, т. е. пусть треугольник $A_1B_1C_1$ - правильный. Если точка $A$ лежит на отрезке $B_1C_1$, то из равенства $\angle C_1B_1A_1 = \angle AB_1C = 60^{\circ}$ следует, что $C$ лежит на $B_1A_1$. При этом $ \angle BAC = 180^{\circ} - \angle BAC_1 - \angle CAB_1 = 60^{\circ}$. Аналогично, $\angle ACB = 60^{\circ}$ и $\triangle ABC$ - правильный. Противоречие. Значит, точка $A$ не лежит на $B_1C_1$.
Рассмотрим треугольники $A_1BC_1, B_1CA_1, C_1AB_1$. Назовем один из них внешним, если он пересекается с $\triangle ABC$ только по соответствующей вершине (так, на рисунке рис. внешними являются треугольники $A_1BC_1$ и $C_1AB_1$, а на рис. - $AA_1BC_1$); иначе назовем его внутренним. Тогда к одной из вершин $A_1, B_1, C_1$ прилегают либо два внешних треугольника (см. рис.), либо два внутренних (см. рис.). В первом случае угол треугольника $A_1B_1C_1$ при этой вершине больше $60^{\circ}$, во втором - меньше. Противоречие.
