Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1633
2019-01-20 
Докажите, что если у тетраэдра два отрезка, идущие из концов некоторого ребра в центры вписанных окружностей противолежащих граней, пересекаются, то отрезки, выпущенные из концов скрещивающегося с ним ребра в центры вписанных окружностей двух других граней, также пересекаются.
Решение:
Пусть $A_{1}$ - центр вписанной окружности $\Delta SBC$, $B_{1}$ - центр вписанной окружности $\Delta SAC, AA_{1}$ пересекается с $BB_{1} \Rightarrow A, A_{1}, B_{1}, B$ лежат в одной плоскости, значит прямые $AB_{1}$ и $BA_{1}$ пересекаются на ребре $SC$. Пусть точка пересечения этих прямых - $P$. Так как $AP$ и $BP$ - биссектрисы углов $A$ и $B$, то $\frac{CP}{PS} = \frac{AC}{AS} = \frac{BC}{BS}$. Но тогда $AC \cdot BS = BC \cdot AS$, отсюда $\frac{AC}{BC} = \frac{AS}{BS}$, следовательно, биссектрисы углов $S$ в $\Delta ASB$ и $C$ в $\Delta ACB$ пересекаются на ребре $AB$, т. е. точки $S, C$ и центры вписанных окружностей $\Delta ASB$ и $\Delta ACB$ лежат в одной плоскости. Отсюда следует, что отрезки, соединяющие вершины $S$ и $C$ с центрами вписанных окружностей противолежащих граней, пересекаются.
Докажите, что если у тетраэдра два отрезка, идущие из концов некоторого ребра в центры вписанных окружностей противолежащих граней, пересекаются, то отрезки, выпущенные из концов скрещивающегося с ним ребра в центры вписанных окружностей двух других граней, также пересекаются.
Решение:
Пусть $A_{1}$ - центр вписанной окружности $\Delta SBC$, $B_{1}$ - центр вписанной окружности $\Delta SAC, AA_{1}$ пересекается с $BB_{1} \Rightarrow A, A_{1}, B_{1}, B$ лежат в одной плоскости, значит прямые $AB_{1}$ и $BA_{1}$ пересекаются на ребре $SC$. Пусть точка пересечения этих прямых - $P$. Так как $AP$ и $BP$ - биссектрисы углов $A$ и $B$, то $\frac{CP}{PS} = \frac{AC}{AS} = \frac{BC}{BS}$. Но тогда $AC \cdot BS = BC \cdot AS$, отсюда $\frac{AC}{BC} = \frac{AS}{BS}$, следовательно, биссектрисы углов $S$ в $\Delta ASB$ и $C$ в $\Delta ACB$ пересекаются на ребре $AB$, т. е. точки $S, C$ и центры вписанных окружностей $\Delta ASB$ и $\Delta ACB$ лежат в одной плоскости. Отсюда следует, что отрезки, соединяющие вершины $S$ и $C$ с центрами вписанных окружностей противолежащих граней, пересекаются.
