Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1631
2019-01-20 
Пусть $AD$ - биссектриса треугольника $ABC$, и прямая $l$ касается окружностей, описанных около треугольников $ADB$ и $ADC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Докажите, что окружность, проходящая через середины отрезков $BD, DC$ и $MN$, касается прямой $l$.
Решение:
Первое решение. Обозначим центры окружностей, описанных около треугольников $ADB$ и $ADC$ через $O_{1}$ и $O_{2}$, а середины отрезков $BD, DC, MN, DO_{2}$ и $O_{1}O_{2}$ - через $A_{1}, A_{2}, K, E$ и $O$ соответственно (см. рис. ). Пусть $\angle BAD = \angle CAD = \alpha$. Тогда $\angle A_{1}O_{1}D = \angle A_{2}O_{2}D = \alpha$ (так как половина центрального угла равна вписанному, опирающемуся на ту же дугу). Отрезок $OK$ - средняя линия трапеции (или прямоугольника) $O_{1}MNO_{2}$, следовательно, $OK \perp l$, и $OK = \frac{O_{1}M + O_{2}N }{2} = \frac{O_{1}D }{2} + \frac{O_{1}D }{2} = OE + EA_{2}$. Заметим, что точки $E, O$ и $A_{2}$ лежат на одной прямой, так как $\angle OEO_{2} + \angle O_{2}EA_{2} = \angle O_{1}DO_{2} + \angle O_{2}EA_{2} = \angle O_{1}AO_{2} + (180^{ \circ} - \angle DO_{2}C) = 2 \alpha + (180^{ \circ} - 2 \alpha) = 180^{ \circ}$, т. е. $OK = OE + EA_{2} = OA_{2}$. Аналогично доказывается, что $OA_{1} = OK$. Значит, точки $A_{1}, A_{2}$ и $K$ лежат на окружности с центром $O$, а так как $OK \perp l$, то эта окружность касается прямой $l$.
Случай, когда вместо прямой $l$ рассматривается прямая $l_{1}$, разбирается аналогично.
Второе решение. Пусть радиусы окружностей $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$, описанных около треугольников ADB и ADC, равны $R_{1}$ и $R_{2}$. Если эти радиусы различны, то прямая $l$ пересекает линию центров $O_{1}O_{2}$ в точке $O$ (см. рис. ). Пусть $OD$ пересекает окружности в точках $B^{ \prime}$ и $C^{ \prime}$, и $OA$ пересекает $\omega_{1}$ в точке $A^{ \prime}$. При гомотетии $H$ с центром $O$ и коэффициентом $k = \frac{R_{1} }{R_{2} }$ точки $C^{ \prime}, D$ и $A$ переходят в точки $D, B^{ \prime}$ и $A^{ \prime}$ соответственно, следовательно, $\angle DAC^{ \prime} = \angle B^{ \prime} A^{ \prime} D$. С другой стороны, $\angle B^{ \prime} A^{ \prime} D = \angle B^{ \prime} AD$, поэтому $\angle B^{ \prime} AD = \angle C^{ \prime} AD$. А это означает, что точки $B^{ \prime}$ и $C^{ \prime}$ совпадают с точками $B$ и $C$, так как в противном случае один из углов $BAD$ и $CAD$ был бы меньше а, а другой - больше $\alpha$ ($\alpha = \angle B^{ \prime} AD = \angle C^{ \prime} AD$).
Рассмотрим гомотетию $H_{1}$ с центром $O$, переводящую $\omega_{2}$ в окружность $\omega$, проходящую через точку $E$ - середину отрезка $MN$. Из того,что $l$ проходит через точку $O$ и $\omega_{2}$ касается $l$, следует, что $\omega$ касается $l$ в точке $E$. Кроме того, из гомотетичности треугольников $ONC$ и $OMD$ (гомотетия $H$) следует, что $NC \parallel MD$. Кроме того, $H_{1}(C) = C_{1}$, где $EC_{1} \parallel NC$. Поэтому $EC_{1}$ - средняя линия трапеции $CNMD$, т. е. гомотетия $H_{1}$ переводит точку $C$ в середину $DC$. Аналогично, она переводит $D$ в середину отрезка $BD$. Значит, $\omega$ проходит через середины отрезков $BD$ и $DC$.
Если же $R_{1} = R_{2}$, то вместо гомотетии следует рассмотреть параллельный перенос на вектор $\frac{1}{2} \vec{O_{2}O_{1}}$.
Пусть $AD$ - биссектриса треугольника $ABC$, и прямая $l$ касается окружностей, описанных около треугольников $ADB$ и $ADC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Докажите, что окружность, проходящая через середины отрезков $BD, DC$ и $MN$, касается прямой $l$.
Решение:
Первое решение. Обозначим центры окружностей, описанных около треугольников $ADB$ и $ADC$ через $O_{1}$ и $O_{2}$, а середины отрезков $BD, DC, MN, DO_{2}$ и $O_{1}O_{2}$ - через $A_{1}, A_{2}, K, E$ и $O$ соответственно (см. рис. ). Пусть $\angle BAD = \angle CAD = \alpha$. Тогда $\angle A_{1}O_{1}D = \angle A_{2}O_{2}D = \alpha$ (так как половина центрального угла равна вписанному, опирающемуся на ту же дугу). Отрезок $OK$ - средняя линия трапеции (или прямоугольника) $O_{1}MNO_{2}$, следовательно, $OK \perp l$, и $OK = \frac{O_{1}M + O_{2}N }{2} = \frac{O_{1}D }{2} + \frac{O_{1}D }{2} = OE + EA_{2}$. Заметим, что точки $E, O$ и $A_{2}$ лежат на одной прямой, так как $\angle OEO_{2} + \angle O_{2}EA_{2} = \angle O_{1}DO_{2} + \angle O_{2}EA_{2} = \angle O_{1}AO_{2} + (180^{ \circ} - \angle DO_{2}C) = 2 \alpha + (180^{ \circ} - 2 \alpha) = 180^{ \circ}$, т. е. $OK = OE + EA_{2} = OA_{2}$. Аналогично доказывается, что $OA_{1} = OK$. Значит, точки $A_{1}, A_{2}$ и $K$ лежат на окружности с центром $O$, а так как $OK \perp l$, то эта окружность касается прямой $l$.
Случай, когда вместо прямой $l$ рассматривается прямая $l_{1}$, разбирается аналогично.
Второе решение. Пусть радиусы окружностей $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$, описанных около треугольников ADB и ADC, равны $R_{1}$ и $R_{2}$. Если эти радиусы различны, то прямая $l$ пересекает линию центров $O_{1}O_{2}$ в точке $O$ (см. рис. ). Пусть $OD$ пересекает окружности в точках $B^{ \prime}$ и $C^{ \prime}$, и $OA$ пересекает $\omega_{1}$ в точке $A^{ \prime}$. При гомотетии $H$ с центром $O$ и коэффициентом $k = \frac{R_{1} }{R_{2} }$ точки $C^{ \prime}, D$ и $A$ переходят в точки $D, B^{ \prime}$ и $A^{ \prime}$ соответственно, следовательно, $\angle DAC^{ \prime} = \angle B^{ \prime} A^{ \prime} D$. С другой стороны, $\angle B^{ \prime} A^{ \prime} D = \angle B^{ \prime} AD$, поэтому $\angle B^{ \prime} AD = \angle C^{ \prime} AD$. А это означает, что точки $B^{ \prime}$ и $C^{ \prime}$ совпадают с точками $B$ и $C$, так как в противном случае один из углов $BAD$ и $CAD$ был бы меньше а, а другой - больше $\alpha$ ($\alpha = \angle B^{ \prime} AD = \angle C^{ \prime} AD$).
Рассмотрим гомотетию $H_{1}$ с центром $O$, переводящую $\omega_{2}$ в окружность $\omega$, проходящую через точку $E$ - середину отрезка $MN$. Из того,что $l$ проходит через точку $O$ и $\omega_{2}$ касается $l$, следует, что $\omega$ касается $l$ в точке $E$. Кроме того, из гомотетичности треугольников $ONC$ и $OMD$ (гомотетия $H$) следует, что $NC \parallel MD$. Кроме того, $H_{1}(C) = C_{1}$, где $EC_{1} \parallel NC$. Поэтому $EC_{1}$ - средняя линия трапеции $CNMD$, т. е. гомотетия $H_{1}$ переводит точку $C$ в середину $DC$. Аналогично, она переводит $D$ в середину отрезка $BD$. Значит, $\omega$ проходит через середины отрезков $BD$ и $DC$.
Если же $R_{1} = R_{2}$, то вместо гомотетии следует рассмотреть параллельный перенос на вектор $\frac{1}{2} \vec{O_{2}O_{1}}$.
