Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1630
2019-01-20 
Приведенный квадратный трехчлен $f(x)$ имеет 2 различных корня. Может ли так оказаться, что уравнение $f(f(x)) = 0$ имеет 3 различных корня, а уравнение $f(f(f(x))) = 0 - 7$ различных корней?
Решение:
Из условия следует, что $f(x) = (x-a)(x-b)$,где $a \neq b$. Пусть искомый многочлен $f(x)$ существует. Тогда, очевидно $f(f(x)) = (x-t_1)^2(x-t_2)(x-t_3)$. Заметим, что $t_1, t_2, t_3$ - корни уравнений $f(x) = a$ и $f(x) = b$, при этом корни этих уравнений не совпадают, поэтому можно считать, что уравнение $f(x) = a$ имеет один корень $x = t_1$.
Рассмотрим уравнение $f(f(f(x))) = 0$. Его решения, очевидно, являются решениями уравнений $f(f(x)) = a$ и $f (f (x)) = b$. Но уравнение $f(f(x)) = a$ равносильно уравнению $f(x) = t_1$ и имеет не более двух корней, а уравнение $f(f(x)) = b$ - не более четырех корней (как уравнение четвертой степени). То есть уравнение $f(f(f(x))) = 0$ имеет не более 6 корней.
Ответ. Нет.
Приведенный квадратный трехчлен $f(x)$ имеет 2 различных корня. Может ли так оказаться, что уравнение $f(f(x)) = 0$ имеет 3 различных корня, а уравнение $f(f(f(x))) = 0 - 7$ различных корней?
Решение:
Из условия следует, что $f(x) = (x-a)(x-b)$,где $a \neq b$. Пусть искомый многочлен $f(x)$ существует. Тогда, очевидно $f(f(x)) = (x-t_1)^2(x-t_2)(x-t_3)$. Заметим, что $t_1, t_2, t_3$ - корни уравнений $f(x) = a$ и $f(x) = b$, при этом корни этих уравнений не совпадают, поэтому можно считать, что уравнение $f(x) = a$ имеет один корень $x = t_1$.
Рассмотрим уравнение $f(f(f(x))) = 0$. Его решения, очевидно, являются решениями уравнений $f(f(x)) = a$ и $f (f (x)) = b$. Но уравнение $f(f(x)) = a$ равносильно уравнению $f(x) = t_1$ и имеет не более двух корней, а уравнение $f(f(x)) = b$ - не более четырех корней (как уравнение четвертой степени). То есть уравнение $f(f(f(x))) = 0$ имеет не более 6 корней.
Ответ. Нет.
