Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 163
2014-06-07 
Доказать, что если фиксированы два положительных числа $p < q$, то для любых чисел $\alpha, \beta, \gamma, \delta, \varepsilon \in [p; q]$ справедливо неравенство
$(\alpha + \beta + \gamma + \delta + \varepsilon) \left ( \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} + \frac{1}{\delta} + \frac{1}{\varepsilon} \right ) \leq$
$\leq 25 + 6 \left ( \sqrt{\frac{p}{q}} - \sqrt{\frac{q}{p}} \right )^{2}$.
Определить, при каких значениях $\alpha, \beta, \gamma, \delta, \varepsilon$ достигается равенство.
Решение:
Будем считать, что пятерка чисел $\alpha, \beta, \gamma, \delta, \varepsilon$ совпадает (с точностью до порядка) с пятеркой чисел $x_{1} \leq x_{2} \leq x_{3} \leq x_{4} \leq x_{5}$. Тогда
$(x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5}) \left ( \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + \frac{1}{x_{3}} + \frac{1}{x_{4}} + \frac{1}{x_{5}} \right ) =$
$= 5 + \sum_{i < j} \left ( \frac{x_{i}}{x_{j}} + \frac{x_{j}}{x_{i}} \right ) = 25 + \sum_{i < j} \left ( \frac{x_{i}}{x_{j}} + \frac{x_{j}}{x_{i}} - 2\right )$.
где сумма берется по всем $C^{2}_{5} = 10$ парам индексов $1 \leq i < j \leq 5$. Далее, имеем
$\left ( \sqrt{\frac{p}{q}} - \sqrt{\frac{q}{p}} \right )^{2} = \frac{p}{q} + \frac{q}{p} – 2$.
Обозначим $f(x, y) = \frac{x}{y} + \frac{y}{x} – 2$, тогда достаточно доказать неравенство
$\sum_{i < j} f(x_{i},x_{j}) \leq 6f(p,q)$.
Докажем, что для положительных чисел $x \leq y \leq z$ справедливо неравенство $f(x,y) + f(y, z) \leq f(x, z)$, т. е.
$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} – 2 + \frac{y}{z} + \frac{z}{y} – 2 \leq \frac{x}{z} + \frac{z}{x} -2$.
Заметим, что
$\frac{x}{y} + \frac{y}{z} - \frac{x}{z} – 1 = \left ( \frac{x}{y} - 1 \right ) \left ( 1- \frac{y}{z} \right ) \leq 0$,
так как $x/y \leq 1$ и $1 \geq y/z$. Аналогично получаем оценку
$\frac{z}{y} + \frac{y}{x} - \frac{z}{x} – 1 \leq 0$.
которая в сумме с предыдущей дает необходимое неравенство. Кроме того, равенство достигается тогда и только тогда, когда либо $x = y$, либо $y=z$. Пользуясь доказанным соотношением, получаем следующий ряд неравенств
$f(p, x_{1}) + f(x_{1},x_{2}) + f(x_{2},x_{3}) + f(x_{3},x_{4}) + f(x_{4},x_{5}) + f(x_{5},q) \leq f(p,q)$,
$ f(p, x_{1}) + f(x_{1},x_{3}) + f(x_{3},x_{5}) + f(x_{5},q) \leq f(p,q)$,
$ f(p, x_{1}) + f(x_{1},x_{4}) + f(x_{4},q) \leq f(p,q)$,
$ f(p, x_{2}) + f(x_{2},x_{5}) + f(x_{5},q) \leq f(p,q)$,
$ f(p, x_{2}) + f(x_{2},x_{4}) + f(x_{4},q) \leq f(p,q)$,
$ f(p, x_{1}) + f(x_{1},x_{5}) + f(x_{5},q) \leq f(p,q)$,
сложив которые и отбросив положительные слагаемые вида $f(p, x_{i})$ и $f(x_{i},q)$, получим требуемое неравенство. Теперь определим, когда имеет место равенство. Заметим, что если $p < x_{2}$, или $x_{1} < q$, то равенство не достигается, поскольку тогда среди отброшенных выше слагаемых $f(p, x_{2})$ или $f(x_{4}, q)$ есть ненулевое. Поэтому для равенства необходимо выполнение соотношений $x_{1} = x_{2}= p$ и $x_{4} = x_{5} = q$. Тогда из второго среди выписанных выше шести неравенств получаем
$f(p,x_{3}) + f(x_{3},q) \leq f(p,q)$.
Поскольку и в этом неравенстве должно быть выполнено равенство, тo либо $p = x_{3}$, либо $x_{3} = q$. Переходя к исходной формулировке, получаем, что равенство достигается, в том и только в том случае, когда два числа на пятерки чисел $\alpha, \beta, \gamma, \delta, \varepsilon$ совпадают с одним концом отрезка $[p;q]$, а остальные три числа - с другим его концом.
Доказать, что если фиксированы два положительных числа $p < q$, то для любых чисел $\alpha, \beta, \gamma, \delta, \varepsilon \in [p; q]$ справедливо неравенство
$(\alpha + \beta + \gamma + \delta + \varepsilon) \left ( \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} + \frac{1}{\delta} + \frac{1}{\varepsilon} \right ) \leq$
$\leq 25 + 6 \left ( \sqrt{\frac{p}{q}} - \sqrt{\frac{q}{p}} \right )^{2}$.
Определить, при каких значениях $\alpha, \beta, \gamma, \delta, \varepsilon$ достигается равенство.
Решение:
Будем считать, что пятерка чисел $\alpha, \beta, \gamma, \delta, \varepsilon$ совпадает (с точностью до порядка) с пятеркой чисел $x_{1} \leq x_{2} \leq x_{3} \leq x_{4} \leq x_{5}$. Тогда
$(x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5}) \left ( \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + \frac{1}{x_{3}} + \frac{1}{x_{4}} + \frac{1}{x_{5}} \right ) =$
$= 5 + \sum_{i < j} \left ( \frac{x_{i}}{x_{j}} + \frac{x_{j}}{x_{i}} \right ) = 25 + \sum_{i < j} \left ( \frac{x_{i}}{x_{j}} + \frac{x_{j}}{x_{i}} - 2\right )$.
где сумма берется по всем $C^{2}_{5} = 10$ парам индексов $1 \leq i < j \leq 5$. Далее, имеем
$\left ( \sqrt{\frac{p}{q}} - \sqrt{\frac{q}{p}} \right )^{2} = \frac{p}{q} + \frac{q}{p} – 2$.
Обозначим $f(x, y) = \frac{x}{y} + \frac{y}{x} – 2$, тогда достаточно доказать неравенство
$\sum_{i < j} f(x_{i},x_{j}) \leq 6f(p,q)$.
Докажем, что для положительных чисел $x \leq y \leq z$ справедливо неравенство $f(x,y) + f(y, z) \leq f(x, z)$, т. е.
$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} – 2 + \frac{y}{z} + \frac{z}{y} – 2 \leq \frac{x}{z} + \frac{z}{x} -2$.
Заметим, что
$\frac{x}{y} + \frac{y}{z} - \frac{x}{z} – 1 = \left ( \frac{x}{y} - 1 \right ) \left ( 1- \frac{y}{z} \right ) \leq 0$,
так как $x/y \leq 1$ и $1 \geq y/z$. Аналогично получаем оценку
$\frac{z}{y} + \frac{y}{x} - \frac{z}{x} – 1 \leq 0$.
которая в сумме с предыдущей дает необходимое неравенство. Кроме того, равенство достигается тогда и только тогда, когда либо $x = y$, либо $y=z$. Пользуясь доказанным соотношением, получаем следующий ряд неравенств
$f(p, x_{1}) + f(x_{1},x_{2}) + f(x_{2},x_{3}) + f(x_{3},x_{4}) + f(x_{4},x_{5}) + f(x_{5},q) \leq f(p,q)$,
$ f(p, x_{1}) + f(x_{1},x_{3}) + f(x_{3},x_{5}) + f(x_{5},q) \leq f(p,q)$,
$ f(p, x_{1}) + f(x_{1},x_{4}) + f(x_{4},q) \leq f(p,q)$,
$ f(p, x_{2}) + f(x_{2},x_{5}) + f(x_{5},q) \leq f(p,q)$,
$ f(p, x_{2}) + f(x_{2},x_{4}) + f(x_{4},q) \leq f(p,q)$,
$ f(p, x_{1}) + f(x_{1},x_{5}) + f(x_{5},q) \leq f(p,q)$,
сложив которые и отбросив положительные слагаемые вида $f(p, x_{i})$ и $f(x_{i},q)$, получим требуемое неравенство. Теперь определим, когда имеет место равенство. Заметим, что если $p < x_{2}$, или $x_{1} < q$, то равенство не достигается, поскольку тогда среди отброшенных выше слагаемых $f(p, x_{2})$ или $f(x_{4}, q)$ есть ненулевое. Поэтому для равенства необходимо выполнение соотношений $x_{1} = x_{2}= p$ и $x_{4} = x_{5} = q$. Тогда из второго среди выписанных выше шести неравенств получаем
$f(p,x_{3}) + f(x_{3},q) \leq f(p,q)$.
Поскольку и в этом неравенстве должно быть выполнено равенство, тo либо $p = x_{3}$, либо $x_{3} = q$. Переходя к исходной формулировке, получаем, что равенство достигается, в том и только в том случае, когда два числа на пятерки чисел $\alpha, \beta, \gamma, \delta, \varepsilon$ совпадают с одним концом отрезка $[p;q]$, а остальные три числа - с другим его концом.
