Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1628
2019-01-20 
На окружности расположена тысяча непересекающихся дуг, и на каждой из них написаны два натуральных числа. Сумма чисел каждой дуги делится на произведение чисел дуги, следующей за ней по часовой стрелке. Каково наибольшее возможное значение наибольшего из написанных чисел?
Решение:
Докажем, что числа на окружности не превосходят 2001.
Лемма 1. Пусть $x$ и $у$ - натуральные числа. Если $xy = x + у$, то $x = у = 2$, а если $xy < x + у$, то хотя бы одно из чисел $x, у$ равно 1.
Для доказательства достаточно переписать неравенство $xy \leq x + у$ в виде $(x - 1)(у - 1) \leq 1$.
Лемма 2. Если $xy = с$, где $x > 0, у > 0, x \leq у$, то сумма $x + у$ убывает при возрастании $x$.
Утверждение леммы следует из убывания функции $f(x) = х + \frac{c}{x}= \left ( \sqrt{\frac{c}{x}} - \sqrt{x} \right )^2 + 2\sqrt{c}$, где $с > 0,$ на интервале $(0, \sqrt{c})$.
Поделим сумму чисел каждой пары на произведение чисел следующей (по часовой стрелке) пары и перемножим полученные частные. По условию мы получим целое число. С другой стороны, это произведение есть произведение чисел вида $\frac{a+b}{ab}$. Отсюда и из леммы 1 следует, что если хотя бы одна пара отлична от $(2, 2)$, то найдется пара вида $(1,k)$. Начнем с этой пары и будем перемещаться по окружности по часовой стрелке.
Первый случай. Последующие пары имеют вид:
$(1, k +1), (1, k + 2),\cdots, (1, k + 999)$.
Значит, $k + 1000 \vdots k$, откуда $1000 \vdots k$. Но тогда $k \leq 1000 \Rightarrow k + 999 \leq 1999$.
Второй случай. Найдется пара вида $(1, l)$ такая, что следующая пара $(a, b)$ отлична от $(1, l + 1)$.
По условию $ab$ - делитель числа $s_1 = 1 + l$. Если $ab = l + 1$, то по Лемме 2
$s_2 = а + b \leq 2 + \frac{l+1}{2}$. (*)
Если же $ab \leq \frac{l+1}{2}$, то по лемме 2
$a+b \leq 1 + \frac{l+1}{2}$.
Следовательно, и в этом случае справедливо (*). Для следующей пары $с, d$ лемма 2 дает
$s_3 = c + d \leq cd + 1 \ \leq 3 + \frac{l+1}{2}$
и т.д. Для суммы $s_{1000}$ чисел пары, предшествующей $(1, l)$, получаем:
$s_{1000} \ leq 1000 + \frac{l+1}{2}$.
С другой стороны, $s_{1000} \vdots l$, значит, $s_{1000} \geq l$. Последние два неравенства дают: $l \leq 2001$. Тогда из приведенных выше оценок следует, что для любой пары, отличной от $(1, l)$, выполняется неравенство $s \leq 2001$. Значит, каждое число в этих парах не превосходит 2000.
Таким образом, оценка 2001 доказана. Из рассуждений легко получить пример: $(1, 2001), (2,1001), (1,1003), (1,1004), (1,1005),\cdots, (1, 2000)$.
Ответ. 2001.
На окружности расположена тысяча непересекающихся дуг, и на каждой из них написаны два натуральных числа. Сумма чисел каждой дуги делится на произведение чисел дуги, следующей за ней по часовой стрелке. Каково наибольшее возможное значение наибольшего из написанных чисел?
Решение:
Докажем, что числа на окружности не превосходят 2001.
Лемма 1. Пусть $x$ и $у$ - натуральные числа. Если $xy = x + у$, то $x = у = 2$, а если $xy < x + у$, то хотя бы одно из чисел $x, у$ равно 1.
Для доказательства достаточно переписать неравенство $xy \leq x + у$ в виде $(x - 1)(у - 1) \leq 1$.
Лемма 2. Если $xy = с$, где $x > 0, у > 0, x \leq у$, то сумма $x + у$ убывает при возрастании $x$.
Утверждение леммы следует из убывания функции $f(x) = х + \frac{c}{x}= \left ( \sqrt{\frac{c}{x}} - \sqrt{x} \right )^2 + 2\sqrt{c}$, где $с > 0,$ на интервале $(0, \sqrt{c})$.
Поделим сумму чисел каждой пары на произведение чисел следующей (по часовой стрелке) пары и перемножим полученные частные. По условию мы получим целое число. С другой стороны, это произведение есть произведение чисел вида $\frac{a+b}{ab}$. Отсюда и из леммы 1 следует, что если хотя бы одна пара отлична от $(2, 2)$, то найдется пара вида $(1,k)$. Начнем с этой пары и будем перемещаться по окружности по часовой стрелке.
Первый случай. Последующие пары имеют вид:
$(1, k +1), (1, k + 2),\cdots, (1, k + 999)$.
Значит, $k + 1000 \vdots k$, откуда $1000 \vdots k$. Но тогда $k \leq 1000 \Rightarrow k + 999 \leq 1999$.
Второй случай. Найдется пара вида $(1, l)$ такая, что следующая пара $(a, b)$ отлична от $(1, l + 1)$.
По условию $ab$ - делитель числа $s_1 = 1 + l$. Если $ab = l + 1$, то по Лемме 2
$s_2 = а + b \leq 2 + \frac{l+1}{2}$. (*)
Если же $ab \leq \frac{l+1}{2}$, то по лемме 2
$a+b \leq 1 + \frac{l+1}{2}$.
Следовательно, и в этом случае справедливо (*). Для следующей пары $с, d$ лемма 2 дает
$s_3 = c + d \leq cd + 1 \ \leq 3 + \frac{l+1}{2}$
и т.д. Для суммы $s_{1000}$ чисел пары, предшествующей $(1, l)$, получаем:
$s_{1000} \ leq 1000 + \frac{l+1}{2}$.
С другой стороны, $s_{1000} \vdots l$, значит, $s_{1000} \geq l$. Последние два неравенства дают: $l \leq 2001$. Тогда из приведенных выше оценок следует, что для любой пары, отличной от $(1, l)$, выполняется неравенство $s \leq 2001$. Значит, каждое число в этих парах не превосходит 2000.
Таким образом, оценка 2001 доказана. Из рассуждений легко получить пример: $(1, 2001), (2,1001), (1,1003), (1,1004), (1,1005),\cdots, (1, 2000)$.
Ответ. 2001.
