Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1626
2019-01-20 
Дан треугольник $ABC$. На прямой $AC$ отмечена точка $B_1$ так, что $AB = AB_1$, при этом $B_1$ и $C$ находятся по одну сторону от $A$. Через точки $C, B_1$ и основание биссектрисы угла $A$ треугольника $ABC$ проводится окружность $w$, вторично пересекающая окружность, описанную около треугольника $ABC$, в точке $Q$. Докажите, что касательная, проведенная к $w$ в точке $Q$, параллельна $AC$.
Решение:
Пусть $A_1$ - основание биссектрисы угла $A$. Так как точки $B$ и $B_1$ симметричны относительно $AA_1$, то $\angle ABA_1 = \angle AB_1A_1 = \angle AQ_1C$, где $Q_1$ - точка пересечения $AA_1$ с описанной окружностью (см. рис.). Значит, точки $B_1, C, A, Q_1$ лежат на одной окружности, т. е. $Q = Q_1$.
Отсюда следует, что $Q$ - середина дуги $BC$, т. е. $QB = QC$, кроме того, точки $B$ и $B_1$ симметричны относительно $AQ$, значит, $QB_1 = QB = QC$, т. е. $ \triangle CQB_1$ - равнобедренный (см. рис.), и касательная к его описанной окружности, проведенная в вершине, параллельна основанию.
Дан треугольник $ABC$. На прямой $AC$ отмечена точка $B_1$ так, что $AB = AB_1$, при этом $B_1$ и $C$ находятся по одну сторону от $A$. Через точки $C, B_1$ и основание биссектрисы угла $A$ треугольника $ABC$ проводится окружность $w$, вторично пересекающая окружность, описанную около треугольника $ABC$, в точке $Q$. Докажите, что касательная, проведенная к $w$ в точке $Q$, параллельна $AC$.
Решение:
Пусть $A_1$ - основание биссектрисы угла $A$. Так как точки $B$ и $B_1$ симметричны относительно $AA_1$, то $\angle ABA_1 = \angle AB_1A_1 = \angle AQ_1C$, где $Q_1$ - точка пересечения $AA_1$ с описанной окружностью (см. рис.). Значит, точки $B_1, C, A, Q_1$ лежат на одной окружности, т. е. $Q = Q_1$.
Отсюда следует, что $Q$ - середина дуги $BC$, т. е. $QB = QC$, кроме того, точки $B$ и $B_1$ симметричны относительно $AQ$, значит, $QB_1 = QB = QC$, т. е. $ \triangle CQB_1$ - равнобедренный (см. рис.), и касательная к его описанной окружности, проведенная в вершине, параллельна основанию.
