Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1625
2019-01-19 
Даны целые числа $а, b$ и с, $с = b$. Известно, что квадратные трехчлены $аx^2 + bx + с$ и $(c - b)x^2 + (с - a)x + (а + b)$ имеют общий корень (не обязательно целый). Докажите, что $а + b +2с$ делится на 3.
Решение:
Вычтем из первого трехчлена второй. Получим, что они оба имеют общий корень с трехчленом $ax^2+ bx + c - ((c - b)x^2 + (c - a)x +(a + b)) = (a + b - c)(x^2+ x - 1)$. Следовательно, либо $a + b - c = 0$, либо их общий корень совпадает с одним из корней трехчлена $x_0^2 + x - 1$. В первом случае имеем $a + b + 2c = 3c \vdots 3$. Во втором случае получаем, что если $x_0$ - общий корень трехчленов $ax^2 + bx + c = 0$ и $x^2 + x - 1 = 0,$ то $ax^2 + bx_0 + c + c(x^2 + x_0 - 1) = 0$, откуда $((a + c)x_0 + (b + c))x_0 = 0$. Число $x_0$ - иррационально, поэтому полученное равенство возможно только если $a + c = 0$ и $b + c = 0$. Получаем, что $a = b = -c$ и, следовательно, $a + b + 2c = 0$.
Даны целые числа $а, b$ и с, $с = b$. Известно, что квадратные трехчлены $аx^2 + bx + с$ и $(c - b)x^2 + (с - a)x + (а + b)$ имеют общий корень (не обязательно целый). Докажите, что $а + b +2с$ делится на 3.
Решение:
Вычтем из первого трехчлена второй. Получим, что они оба имеют общий корень с трехчленом $ax^2+ bx + c - ((c - b)x^2 + (c - a)x +(a + b)) = (a + b - c)(x^2+ x - 1)$. Следовательно, либо $a + b - c = 0$, либо их общий корень совпадает с одним из корней трехчлена $x_0^2 + x - 1$. В первом случае имеем $a + b + 2c = 3c \vdots 3$. Во втором случае получаем, что если $x_0$ - общий корень трехчленов $ax^2 + bx + c = 0$ и $x^2 + x - 1 = 0,$ то $ax^2 + bx_0 + c + c(x^2 + x_0 - 1) = 0$, откуда $((a + c)x_0 + (b + c))x_0 = 0$. Число $x_0$ - иррационально, поэтому полученное равенство возможно только если $a + c = 0$ и $b + c = 0$. Получаем, что $a = b = -c$ и, следовательно, $a + b + 2c = 0$.
