Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16247
2026-02-17 
Окружность пересекает сторону $AB$ треугольника $ABC$ в точках $K$ и $L$, сторону $BC$ - в точках $M$ и $N$, сторону $AC$ - в точках $R$ и $S$. Дано: $KL=MN=RS=6$, $AB=10$, $BC=24$, $\angle ABC=90^{\circ}$. Найдите радиус окружности
Решение:
Пусть $O$ - центр данной окружности. Равнобедренные треугольники $KOL$, $MON$ и $ROS$ равны по трём сторонам, значит, равны и их высоты, опущенные на основания из общей вершины $O$, т.е. точка $O$ равноудалена от всех сторон треугольника $ABC$ и расположена внутри треугольника (внутри каждого его угла). Тогда $O$ - центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности.
Пусть $r$ - радиус этой окружности, а $r_{1}$ - радиус искомой окружности. По теореме Пифагора
$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{10^{2}+24^{2}}=2\sqrt{5^{2}+12^{2}}=26.$
Тогда (см. задачу 4012)
$r=\frac{AB+BC-AC}{2}=\frac{10+24-26}{2}=4.$
Следовательно,
$r_{1}=\sqrt{OK^{2}+\left(\frac{KL}{2}\right)^{2}}=\sqrt{r^{2}+\frac{KL^{2}}{4}}=\sqrt{16+9}=5$.
Окружность пересекает сторону $AB$ треугольника $ABC$ в точках $K$ и $L$, сторону $BC$ - в точках $M$ и $N$, сторону $AC$ - в точках $R$ и $S$. Дано: $KL=MN=RS=6$, $AB=10$, $BC=24$, $\angle ABC=90^{\circ}$. Найдите радиус окружности
Решение:
Пусть $O$ - центр данной окружности. Равнобедренные треугольники $KOL$, $MON$ и $ROS$ равны по трём сторонам, значит, равны и их высоты, опущенные на основания из общей вершины $O$, т.е. точка $O$ равноудалена от всех сторон треугольника $ABC$ и расположена внутри треугольника (внутри каждого его угла). Тогда $O$ - центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности.
Пусть $r$ - радиус этой окружности, а $r_{1}$ - радиус искомой окружности. По теореме Пифагора
$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{10^{2}+24^{2}}=2\sqrt{5^{2}+12^{2}}=26.$
Тогда (см. задачу 4012)
$r=\frac{AB+BC-AC}{2}=\frac{10+24-26}{2}=4.$
Следовательно,
$r_{1}=\sqrt{OK^{2}+\left(\frac{KL}{2}\right)^{2}}=\sqrt{r^{2}+\frac{KL^{2}}{4}}=\sqrt{16+9}=5$.
