ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2026-02-17   
Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с гипотенузой $AB$. Окружность радиуса 39 касается стороны AB и продолжений двух других сторон. Окружность радиуса 15 касается стороны $BC$ и продолжений двух других сторон. Найти длину стороны $AC$


Решение:


Обозначим $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$, а $p$ - полупериметр треугольника $ABC$. Пусть первая окружность с центром $O_{1}$ касается гипотенузы $AB$ в точке $M$, а продолжений катетов $AC$ и $BC$ - в точках $K$ и $D$ соответственно, вторая окружность с центром $O_{2}$ касается катета $BC$ в точке $N$, а продолжения катета $AC$ - в точке $L$. Тогда $CDO_{1}K$ и $CLO_{2}N$ - квадраты, поэтому

$CK=O_{1}L=39,~CL=O_{2}N=15.$

Значит (см. задачу 5350),

$\frac{b+c+a}{2}=p=CK=39,$

$\frac{a+c-b}{2}=p-b=AL-AC=CL=O_{2}N=15,$

откуда

$a+b+c=78,~a+c-b=30.$

Вычитая из первого равенств второе, получим $2b=48$. Следовательно,

$AC=b=\frac{1}{2}\cdot48=24$.