Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1624
2019-01-19 
Проведено три семейства параллельных прямых, по 10 прямых в каждом. Какое наибольшее число треугольников они могут вырезать из плоскости?
Решение:
Рассмотрим 100 узлов - точек пересечения прямых первого и второго направлений. Разобьем их на 10 уголков : первый уголок - узлы, лежащие на первых прямых первого и второго направления. Второй - лежащие на вторых прямых (кроме точек, лежащих в первом уголке) и т. д. (на рис. уголки выделены жирными линиями). Треугольники со сторонами, параллельными трем фиксированным направлениям, могут иметь две ориентации, причем каждый из наших 100 узлов может быть вершиной не более одного треугольника каждой ориентации. Поэтому, 10 прямых третьего направления образуют не более $2 \cdot 25$ треугольников с последними пятью уголками , так как эти пять уголков содержат всего 25 узлов. Заметим далее, что каждая из прямых третьего направления образует не более одного треугольника каждой ориентации с узлами, принадлежащими одному «уголку». Поэтому треугольников, имеющих вершины в узлах остальных пяти «уголков», будет не больше $10 \cdot 2 \cdot 5$. Итого, треугольников не более 100 + 50 = 150. Пример со 150 треугольниками приведен на рис.
Ответ. 150.
Проведено три семейства параллельных прямых, по 10 прямых в каждом. Какое наибольшее число треугольников они могут вырезать из плоскости?
Решение:
Рассмотрим 100 узлов - точек пересечения прямых первого и второго направлений. Разобьем их на 10 уголков : первый уголок - узлы, лежащие на первых прямых первого и второго направления. Второй - лежащие на вторых прямых (кроме точек, лежащих в первом уголке) и т. д. (на рис. уголки выделены жирными линиями). Треугольники со сторонами, параллельными трем фиксированным направлениям, могут иметь две ориентации, причем каждый из наших 100 узлов может быть вершиной не более одного треугольника каждой ориентации. Поэтому, 10 прямых третьего направления образуют не более $2 \cdot 25$ треугольников с последними пятью уголками , так как эти пять уголков содержат всего 25 узлов. Заметим далее, что каждая из прямых третьего направления образует не более одного треугольника каждой ориентации с узлами, принадлежащими одному «уголку». Поэтому треугольников, имеющих вершины в узлах остальных пяти «уголков», будет не больше $10 \cdot 2 \cdot 5$. Итого, треугольников не более 100 + 50 = 150. Пример со 150 треугольниками приведен на рис.
Ответ. 150.
