Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1622
2019-01-19 
В параллелограмме $ABCD$ на диагонали $AC$ отмечена точка $K$. Окружность $s_1$ проходит через точку $K$ и касается прямых $AB$ и $AD$ ($s_1$ вторично пересекает диагональ $AC$ на отрезке $AK$). Окружность $s_2$ проходит через точку $K$ и касается прямых $CB$ и $CD$ ($s_2$ вторично пересекает диагональ $AC$ на отрезке $KC$). Докажите, что при всех положениях точки $K$ на диагонали $AC$ прямые, соединяющие центры окружностей $s_1$ и $s_2$ будут параллельны между собой.
Решение:
Пусть $H$ - гомотетия с центром в точке $K$ и коэффициентом $k = - \frac{CK}{AK}$. Тогда $H(A) = C, H(AD) = l \parallel AD$, так как при гомотетии прямая переходит в параллельную прямую. Отсюда $H(AD) = CB$. Аналогично, $H(AB) = CD$. Следовательно, $H(s_1)$ - окружность, вписанная в угол $BCD$ и проходящая через точку $K (H(K) = K)$. Таким образом, $H(s_1) = s_2$ и, значит, $s_1$ и $s_2$ касаются в точке $K$ (см. рис.). Прямая, проходящая через точку $K$ перпендикулярно линии центров этих окружностей, является их общей касательной.
Пусть другой точке $K^{ \prime} $ диагонали $AC$ соответствует другая пара окружностей - $s_1^{ \prime}$ и $s_2^{ \prime} $. Окружности $s_1$ и вписаны в угол $BAD$, следовательно, гомотетичны с центром в точке $A$, а, значит, их касательные, проведенные в точках $K$ и $K^{ \prime} $ соответственно, параллельны. Отсюда следует утверждение задачи.
В параллелограмме $ABCD$ на диагонали $AC$ отмечена точка $K$. Окружность $s_1$ проходит через точку $K$ и касается прямых $AB$ и $AD$ ($s_1$ вторично пересекает диагональ $AC$ на отрезке $AK$). Окружность $s_2$ проходит через точку $K$ и касается прямых $CB$ и $CD$ ($s_2$ вторично пересекает диагональ $AC$ на отрезке $KC$). Докажите, что при всех положениях точки $K$ на диагонали $AC$ прямые, соединяющие центры окружностей $s_1$ и $s_2$ будут параллельны между собой.
Решение:
Пусть $H$ - гомотетия с центром в точке $K$ и коэффициентом $k = - \frac{CK}{AK}$. Тогда $H(A) = C, H(AD) = l \parallel AD$, так как при гомотетии прямая переходит в параллельную прямую. Отсюда $H(AD) = CB$. Аналогично, $H(AB) = CD$. Следовательно, $H(s_1)$ - окружность, вписанная в угол $BCD$ и проходящая через точку $K (H(K) = K)$. Таким образом, $H(s_1) = s_2$ и, значит, $s_1$ и $s_2$ касаются в точке $K$ (см. рис.). Прямая, проходящая через точку $K$ перпендикулярно линии центров этих окружностей, является их общей касательной.
Пусть другой точке $K^{ \prime} $ диагонали $AC$ соответствует другая пара окружностей - $s_1^{ \prime}$ и $s_2^{ \prime} $. Окружности $s_1$ и вписаны в угол $BAD$, следовательно, гомотетичны с центром в точке $A$, а, значит, их касательные, проведенные в точках $K$ и $K^{ \prime} $ соответственно, параллельны. Отсюда следует утверждение задачи.
