Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1619
2019-01-19 
Окружность, вписанная в угол с вершиной $O$, касается его сторон в точках $A$ и $B$, $K$ - произвольная точка на меньшей из двух дуг $AB$ этой окружности. На прямой $OB$ взята точка $L$ такая, что прямые $OA$ и $KL$ параллельны. Пусть $M$ - точка пересечения окружности $w$, описанной около треугольника $KLB$, с прямой $AK$, отличная от $K$. Докажите, что прямая $OM$ касается окружности $w$.
Решение:
Пусть $ \angle OAK = \alpha$. Из параллельности $LK \parallel OA$ следует: $ \angle LKM = \angle OAK = \alpha$. По теореме об угле между касательной и хордой: $\angle KBA = \angle OAK = \angle$. Так как углы $LKM$ и $LBM$ вписаны в окружность ш и опираются на одну дугу, то $\angle LBM = \angle LKM = \alpha$.
Из равенства углов $\angle OAM = \angle OBM = \alpha$ следует, что четырехугольник $OABM$ - вписанный. Отсюда $\angle OMA = \angle OBA$. Но $\angle OBA = \angle KBM$, так как $\angle KBA = \angle OBM = \alpha$. Значит, $\angle OMA = = \angle KBM$, откуда по обратной теореме о касательной и хорде получаем, что $OM$ касается окружности $w$ в точке $M$.
Окружность, вписанная в угол с вершиной $O$, касается его сторон в точках $A$ и $B$, $K$ - произвольная точка на меньшей из двух дуг $AB$ этой окружности. На прямой $OB$ взята точка $L$ такая, что прямые $OA$ и $KL$ параллельны. Пусть $M$ - точка пересечения окружности $w$, описанной около треугольника $KLB$, с прямой $AK$, отличная от $K$. Докажите, что прямая $OM$ касается окружности $w$.
Решение:
Пусть $ \angle OAK = \alpha$. Из параллельности $LK \parallel OA$ следует: $ \angle LKM = \angle OAK = \alpha$. По теореме об угле между касательной и хордой: $\angle KBA = \angle OAK = \angle$. Так как углы $LKM$ и $LBM$ вписаны в окружность ш и опираются на одну дугу, то $\angle LBM = \angle LKM = \alpha$.
Из равенства углов $\angle OAM = \angle OBM = \alpha$ следует, что четырехугольник $OABM$ - вписанный. Отсюда $\angle OMA = \angle OBA$. Но $\angle OBA = \angle KBM$, так как $\angle KBA = \angle OBM = \alpha$. Значит, $\angle OMA = = \angle KBM$, откуда по обратной теореме о касательной и хорде получаем, что $OM$ касается окружности $w$ в точке $M$.
