ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-01-19   
В параллелограмме $ABCD$ на сторонах $AB$ и $BC$ выбраны точки $M$ и $N$ соответственно так, что $AM = NC, Q$ - точка пересечения отрезков $AN$ и $CM$. Докажите, что $DQ$ - биссектриса $ \angle D$.


Решение:



Пусть $P$ - точка пересечения прямых $AN$ и $DC$ (см. ). Тогда утверждение задачи равносильно следующему равенству: $ \frac {PQ}{QA} = \frac {PD}{DA}$. Пусть $AB = CD = a, AD = BC = b, AM = CN = с$ и $CP = x$. Тогда из подобия треугольников $NCP$ и $ADP$ следует $ \frac {x}{x+a} = \frac {c}{d}$, откуда $x = \frac{ac}{b-c}$ и $PD = x + а = \frac{ab}{b-c}$. Далее, из подобия треугольников $AMQ$ и $PCQ$ следует Утверждение задачи следует из равенства $ \frac {PQ}{QA} = \frac {x}{c} = \frac {a}{b-c}/b = \frac {PD}{DA}$.